"Dreimal Mindestens"-Aufgaben

16.01.2022, 11:52	jkbrdl	Auf diesen Beitrag antworten »
"Dreimal Mindestens"-Aufgaben Meine Frage: Hallo, wie löse ich folgenden Aufgabentyp, illustriert anhand anschließenden Beispielen: 1.Wie oft musst du eine Münze mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens 4-mal "Zahl" zu werfen? 2.Eine neue Diät soll erprobt werden. Dabei dürfen in einer Stichprobe von 80 Frauen mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 95% maximal 6 Frauen mit erhöhtem Blutdruck sein. Wie hoch darf bei der Anmeldung zur Diät-Erprobung der Prozentsatz der Frauen mit erhöhtem Blutdruck maximal sein? Viele Grüße und danke im vorraus! Meine Ideen: Einfach raten oder im TW wild rumsuchen? Vorgehen nicht bekannt.
16.01.2022, 12:07	stochbino	Auf diesen Beitrag antworten »
Solche Aufgabentypen sind in der Schule typisch für den Einsatz von technischen Hilfsmitteln wie einem GTR oder CAS. Ein möglicher Weg geht über das Erzeugen einer Wertetabelle, in der man die gesuchte Größe x nennt und dann eben schaut, wann (also bei welchem n bzw. p) in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit von 0,95 das erste Mal überschritten wird.
16.01.2022, 14:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Möglichkeiten: 1) Die Anzahl $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ für "Zahl" bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Würfen ist binomialverteilt $\begin{eqnarray} B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray}$ . Man sucht also das kleinste $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P\left(X_n\geq 4\right)\geq 0.95 \end{eqnarray}$ . 2) Die Anzahl $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , bis man erstmals viermal "Zahl" erreicht hat, ist negativ binomialverteilt $\begin{eqnarray} NB\left(4,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray}$ . Man sucht nun jenes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(Y\leq n)\geq 0.95 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} P(Y=k) = \binom{k-1}{3} \frac{1}{2^k} = \frac{(k-1)(k-2)(k-3)}{6}\cdot \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ kann man nun diese Werte $\begin{eqnarray} P(Y=4) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} P(Y=5) \end{eqnarray}$ usw. sukzessive aufsummieren, bis man schließlich 0.95 erstmals erreicht bzw. übertroffen hat. Schultauglich, und mit GTR bewaffnet wird vermutlich auf Variante 1) orientiert. Wenn man von Hand rechnen muss, scheint mir Variante 2) besser geeignet.
16.01.2022, 17:14	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drei Mindestens Aufgabe Mathe mit P(X<=(n>1)) >= 0,95? Die Erschwernis besteht also darin, dass nicht wie sonst üblich das betreffende Ereignis "mindestens 1-mal" auftreten soll. Um den Technikeinsatz möglichst gering zu halten, kann man versuchen, die Rechnung zu 1. so zu vereinfachen: $\begin{eqnarray} P(\text{mindestens 4-mal})=1-P(\text{höchstens 3-mal})=1-\sum\limits_{k=0}^{3} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot \sum\limits_{k=0}^{3} \binom{n}{k} \geq 0,95 \end{eqnarray}$ Das läßt sich durch Auflösung der Binomialkoeffizienten umformen zu $\begin{eqnarray} 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot \left(\frac{1}{6}n^{3}+\frac{5}{6}n+1 \right) \geq 0,95 \end{eqnarray}$ Mit ganzzahligem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kann man sich der Lösung nun durch Einsetzen nähern, ohne Summation. Ein bequemer Startwert ist 10, mit dem man nicht mehr weit von der Lösung entfernt ist.
16.01.2022, 19:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn man den Aufwand der Formel-Zusammenfassung $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{3} \binom{n}{k} = \frac{1}{6}n^{3}+\frac{5}{6}n+1 \end{eqnarray}$ vernachlässigt, ist das wohl die beste Methode. Bezieht man ihn ein, dann ist es wohl Geschmackssache, ob man das oder die 2)-Aufsummierung vorzieht.
17.01.2022, 14:10	jkbrdl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drei Mindestens Aufgabe Mathe mit P(X<=(n>1)) >= 0,95? Danke für die Antwort!
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17.01.2022, 16:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und? Welches Ergebnis hast du raus?

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