Koeffizienten bestimmen

16.01.2022, 13:54	abc1213	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizienten bestimmen Wie bestimme ich am besten den Koeffizienten von $\begin{eqnarray} B^5GR \end{eqnarray}$ im Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \left(2 \left(B^6+G^6+R^6\right) (B+G+R)+2 \left(B^3+G^3+R^3\right)^2 (B+G+R)+3 \left(B^2+G^2+R^2\right)^2 (B+G+R)^3+4 \left(B^2+G^2+R^2\right)^3 (B+G+R)+(B+G+R)^7\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> =...=\frac{1}{12} \left(2\cdot 0+ 2\cdot 0 +3\cdot 6 +4\cdot 0 +42\right)=5<br /> \end{eqnarray}$ Wie erkenne ich "durch Hinsehen" welche Terme 0 sind? Auf das 42 könnte man mit dem Multinomialtheorem kommen. Geht's auch einfacher bzw. wie würdet ihr das machen? Wie kommt man auf die 6? Muss man da stur ausmultiplizieren?
16.01.2022, 14:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal kann man alle Monome streichen, wo offenkundig $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ in mindestens sechster Potenz, oder $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ in mindestens zweiter Potenz drin sind. Es bleibt dann lediglich noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \left(3\left(B^2+G^2+R^2\right)^2 (B+G+R)^3+(B+G+R)^7\right) \end{eqnarray}$ übrig. Vorn kann man noch hinsichtlich Monom $\begin{eqnarray} B^5GR \end{eqnarray}$ den Term $\begin{eqnarray} \left(B^2+G^2+R^2\right)^2 (B+G+R)^3 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} B^4(B+G+R)^3 \end{eqnarray}$ reduzieren, den Rest richtet dann der Multinomialsatz: 1) Koeffizient von $\begin{eqnarray} BGR \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (B+G+R)^3 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \binom{3}{1,1,1} = \frac{3!}{1!1!1!} = 6 \end{eqnarray}$ . 2) Koeffizient von $\begin{eqnarray} B^5GR \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (B+G+R)^7 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \binom{7}{5,1,1} = \frac{7!}{5!1!1!} = 42 \end{eqnarray}$ .
16.01.2022, 14:53	abc1213	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wieso man $\begin{eqnarray} 3 \left(B^2+G^2+R^2\right)^2 (B+G+R)^3 \end{eqnarray}$ nicht streicht? Hier habe ich doch G und R in mindestens zweiter Potenz oder wie meinst du das mit den Monomen?
16.01.2022, 14:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Entwicklung von $\begin{eqnarray} \left(B^2+G^2+R^2\right)^2 \end{eqnarray}$ haben wir das Monom $\begin{eqnarray} B^4 \end{eqnarray}$ (hatte ich oben schon angesprochen), und in der Entwicklung des anderen Faktors $\begin{eqnarray} \left(B+G+R\right)^3 \end{eqnarray}$ haben wir $\begin{eqnarray} 6BGR \end{eqnarray}$ enthalten. Beides multipliziert ergibt $\begin{eqnarray} 6B^5GR \end{eqnarray}$ , und ist damit relevant für die Frage hier!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »