Zwei Matrizen ähnlich, wenn Übergangsmatrix invertierbar ist

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jonaas Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Matrizen ähnlich, wenn Übergangsmatrix invertierbar ist
Meine Frage:
Die Matrizen A und B aus Körper K^nxn bezeichnet man als ähnlich, wenn es Basen X und Y von K^n und eine lineare Abbildung f : K^n -> K^n gibt, sodass A = A(f)XX und B = A(f)YY (Übergangsmatrizen) gilt.
Ich soll nun zeigen, dass A und B genau dann ähnlich sind, wenn eine invertierbare Matrix P enthalten in GLn(K) existiert mit B = PAP^-1

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass ich B = A(f)YY zeigen kann durch:
B = PAP^-1
= A(id)XY . A(f)XX . A(id)YX
= A (id . f . id)YY
B = A(f)YY
Aber ich weiß nicht, wie ich A = A(f)XX zeigen soll. Außerdem ist das ja nur der Weg ´=>´ aber durch die Formulierung ´genau dann´, müsste ich doch ebenfalls noch ´<=´ (also den anderen Weg) zeigen oder nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß hier niemand antwortet, liegt vielleicht daran, daß du temporäre vorlesungsinterne Bezeichnungen verwendest, ohne sie zu erklären, und das Ganze noch in einer Notation ohne Formeleditor, so daß man es schlicht nicht vernünftig lesen kann.

Damit das leserlich wird, verwende ich für Matrizen des lateinische Großbuchstaben, für Vektoren des lateinische Kleinbuchstaben. Skalare werden durch kleine griechische Buchstaben bezeichnet. Die Summationen laufen im Folgenden über die angegebenen Indizes jeweils von bis .

Wir haben also zwei Basen



Die Elemente von können als Linearkombinationen der Elemente von dargestellt werden:



Dann ist die Basiswechselmatrix invertierbar.

Die Matrix beschreibt die Abbildung bezüglich , die Matrix bezüglich . Für bedeutet das:



Nun ersetzen wir in der ersten dieser Gleichungen die Basiselemente von durch die von und verwenden die Linearität von :





Und links wird jetzt die Darstellung von bezüglich verwendet:





Nun werden die Summationsreihenfolgen vertauscht:



Da eine Basis ist, darf man auf die Gleichheit der Koeffizienten schließen:



Links steht das Element von an der Position , rechts das Element von an der Stelle . Es folgt:



Dieser Beweis geht ganz zurück auf eine Rechnung mit Skalaren. Wenn ihr in der Vorlesung mit euren Bezeichnungen einen Kalkül aufgebaut habt, mag das kürzer gehen. Gerade um solche unübersichtlichen Indexgeschichten zu vermeiden, werden gerne solche Kalküle eingeführt. Da ich diesen Kalkül aber nicht kenne, habe ich eine elementare Rechnung durchgeführt. Es ist jetzt deine Aufgabe, das in euren Kalkül zu übertragen.
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