Isometrie hat keinen Eigenvektor |
17.01.2022, 00:43 | ImSuffering | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Isometrie hat keinen Eigenvektor Sei V euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt <. , . >, p: V->V ist Isometrie mit p^2 = -1 (die eins mit doppeltem Strich; Id) Warum hat die Isometrie wegen der letzten Bedingung keine Eigenvektoren? Meine Ideen: Allgemein solle ja gelten: ||v|| = ||p(v)|| = || k*v || = |k| * ||v|| mit k Eigenwert, v Eigenvektor. Wie kommt es durch besagte BEdingung zum WIderspruch? |
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17.01.2022, 01:05 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Isometrie hat keinen Eigenvektor Berechne für einen Eigenvektor v |
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18.01.2022, 21:17 | ImSufferinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Isometrie hat keinen Eigenvektor p^2 *v = -1 * v = -v <=> v = -p^2 *v mit der Gleichung ||v|| = ||p(v)|| = || k*v || = |k| * ||v|| also: || -p^2 *v|| = |k| * || -p^2 *v|| und das geht eigentlich nicht, daher Widerspruch? |
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18.01.2022, 21:35 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich erkenne in deiner Gleichung keinen Widerspruch. Sie läuft lediglich auf hinaus. Ich kann hier auch nicht erkennen, daß die Eigenschaften einer Isometrie wesentlich sind. In der Aufgabe heißt es ja auch "wegen der letzten Bedingung". Ist ein Eigenvektor, so gibt es einen Skalar mit . In wird nun eingesetzt, wie URL das vorgeschlagen hat: Jetzt die Linearität von verwenden und noch einmal die Eigenvektoreigenschaft ausnutzen. |
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18.01.2022, 21:57 | ImSufferingo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
-v = ... = p(»v) = » p(v) es folgt p(v) = -» v (bzw. - 1/» , aber » hat Betrag 1) und das widerspricht pv = »v ? |
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18.01.2022, 22:00 | ImSufferingo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrektur weil es falsch formatiert wurde: k für Lambda -v = ... = p(v) = k p(v) es folgt p(v) = -k v (bzw. - 1/k , aber k hat Betrag 1) und das widerspricht pv = kv ? |
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18.01.2022, 22:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das war mein Vorschlag. Ich finde dein Vorgehen ein wenig unübersichtlich. Aber warum nicht. Einerseits folgt aus die Beziehung Andererseits hatten wir Jetzt ziehe aus einem Vergleich von und eine Folgerung. Wie gesagt, ich hätte es anders gemacht. Einfach in rechts ein weiteres anwenden, daß ein Eigenvektor zum Eigenwert ist. Dieses Vorgehen vermeidet auch eine Division durch , was im Falle zu ungeklärten Verhältnissen führt. |
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18.01.2022, 22:32 | ImSufferingLess | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke sehr C: |
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