Isometrie hat keinen Eigenvektor

17.01.2022, 00:43

ImSuffering

Isometrie hat keinen Eigenvektor

Meine Frage:
Sei V euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt <. , . >,
p: V->V ist Isometrie mit p^2 = -1 (die eins mit doppeltem Strich; Id)

Warum hat die Isometrie wegen der letzten Bedingung keine Eigenvektoren?

Meine Ideen:
Allgemein solle ja gelten: ||v|| = ||p(v)|| = || k*v || = |k| * ||v|| mit k Eigenwert, v Eigenvektor. Wie kommt es durch besagte BEdingung zum WIderspruch?

17.01.2022, 01:05

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RE: Isometrie hat keinen Eigenvektor
Berechne $\begin{eqnarray*} p^2v \end{eqnarray*}$ für einen Eigenvektor v

18.01.2022, 21:17

ImSufferinge

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RE: Isometrie hat keinen Eigenvektor
p^2 *v = -1 * v = -v

<=> v = -p^2 *v

mit der Gleichung ||v|| = ||p(v)|| = || k*v || = |k| * ||v|| also:

|| -p^2 *v|| = |k| * || -p^2 *v|| und das geht eigentlich nicht, daher Widerspruch?

18.01.2022, 21:35

Leopold

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Ich erkenne in deiner Gleichung keinen Widerspruch. Sie läuft lediglich auf $\begin{align*} |k|=1 \end{align*}$ hinaus.

Ich kann hier auch nicht erkennen, daß die Eigenschaften einer Isometrie wesentlich sind. In der Aufgabe heißt es ja auch "wegen der letzten Bedingung".

Ist $\begin{align*} 0 \neq v \end{align*}$ ein Eigenvektor, so gibt es einen Skalar $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ mit $\begin{align*} pv = \lambda v \end{align*}$ .

In $\begin{align*} - \operatorname{id} = p^2 \end{align*}$ wird nun $\begin{align*} v \end{align*}$ eingesetzt, wie URL das vorgeschlagen hat:

$\begin{align*} -v = p^2 v = p(pv) = p \left( \lambda v \right) \end{align*}$

Jetzt die Linearität von $\begin{align*} p \end{align*}$ verwenden und noch einmal die Eigenvektoreigenschaft ausnutzen.

18.01.2022, 21:57

ImSufferingo

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-v = ... = p(»v) = » p(v)

es folgt
p(v) = -» v (bzw. - 1/» , aber » hat Betrag 1)

und das widerspricht pv = »v ?

18.01.2022, 22:00

ImSufferingo

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Korrektur weil es falsch formatiert wurde:

k für Lambda

-v = ... = p(v) = k p(v)

es folgt
p(v) = -k v (bzw. - 1/k , aber k hat Betrag 1)

und das widerspricht pv = kv ?

18.01.2022, 22:10

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
... und noch einmal die Eigenvektoreigenschaft ausnutzen.

Das war mein Vorschlag. Ich finde dein Vorgehen ein wenig unübersichtlich. Aber warum nicht.

Einerseits folgt aus $\begin{align*} -v = \lambda pv \end{align*}$ die Beziehung

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ pv = - \frac{1}{\lambda} v \end{align*}$

Andererseits hatten wir

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ pv = \lambda v \end{align*}$

Jetzt ziehe aus einem Vergleich von $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ eine Folgerung.

Wie gesagt, ich hätte es anders gemacht. Einfach in

$\begin{align*} -v = \lambda pv \end{align*}$

rechts ein weiteres anwenden, daß $\begin{align*} v \end{align*}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ ist. Dieses Vorgehen vermeidet auch eine Division durch $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ , was im Falle $\begin{align*} \lambda=0 \end{align*}$ zu ungeklärten Verhältnissen führt.

18.01.2022, 22:32

ImSufferingLess

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Danke sehr C:

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