Grassmann-Identität

17.01.2022, 20:29

HiBee123

Grassmann-Identität

Hallo!

Es gilt mithilfe des Homomorphiesatzes zu zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} U/(U\cap W)\cong(U+W)/W \end{eqnarray*}$ und daraus dann die Grassmannidentität
$\begin{eqnarray*} Dim(U+W)+Dim(U\cap W)=Dim(U)+Dim(W) \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Es gilt jetzt eine Abbildung zu finden, deren Bild $\begin{eqnarray*} (U+W)/W \end{eqnarray*}$ ist und deren Kern
$\begin{eqnarray*} (U\cap W) \end{eqnarray*}$ ist... Uff...

17.01.2022, 20:51

IfindU

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RE: Grassmann-Identität

Zitat:

Original von HiBee123
Es gilt jetzt eine Abbildung zu finden, deren Bild $\begin{eqnarray*} (U+W)/W \end{eqnarray*}$ ist und deren Kern
$\begin{eqnarray*} (U\cap W) \end{eqnarray*}$ ist... Uff...

Oder eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} U+W \to U \end{eqnarray*}$ mit Kern $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und Bild (isomorph zu) $\begin{eqnarray*} U /(U \cap W) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

17.01.2022, 20:59

HiBee123

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Ach Moment. Das kenn ich!
Die Abbildung die U+W -> U schickt, also die kanonische hat bereits den Kern W, aber was soll das mit dem Bild? ich kann mir das nicht so richtig vorstellen...

17.01.2022, 21:01

IfindU

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Einfachster Fall wäre: $\begin{eqnarray*} U \cap W = \{ 0\} \end{eqnarray*}$ . Dann wäre die gesuchte Abbildung einfach $\begin{eqnarray*} U + W \to U, u+w\mapsto u \end{eqnarray*}$ , die Projektion. Und das hat natürlich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als Bild. Sieht also gut aus.

Die Frage ist nur: Wenn $\begin{eqnarray*} U \cap W \neq \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ , worauf schickst du die Elemente im Schnitt?

17.01.2022, 21:12

Leopold

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Ich kenne die Graßmann-Identität als eine Formel beim Vektorprodukt mit drei Faktoren. Als Dimensionsformel für Vektorräume ist sie mir noch nie begegnet. Gibt es da einen Zusammenhang? Oder ist das nur ein Zuordnungsfehler? Wer klärt mich auf? verwirrt

17.01.2022, 21:13

HiBee123

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Darf ich die einfach auf Null schicken? Hilft das uns den weiter? verwirrt

(Sorry ich steh wie der Ochs vorm Berg... )

17.01.2022, 21:18

IfindU

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Ist eine Möglichkeit Freude

D.h. der Kern ist noch immer $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , aber das Bild ist nun kleiner! Statt $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bekommen wir weniger, weil $\begin{eqnarray*} U \cap W \subset U \end{eqnarray*}$ nicht mehr auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ geschickt wird, sondern auf 0. Und die Mengen passen ja schon einmal perfekt, da das Bild ja isomorph zu $\begin{eqnarray*} U/ (U\cap W) \end{eqnarray*}$ sein soll!

17.01.2022, 21:19

HiBee123

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Also bei uns stand über der Dimensionsformel der Name: Grassmann-Identität...

17.01.2022, 21:23

HiBee123

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Okay danke, ich versuch das jetzt formal zu packen. Dankeschön smile

17.01.2022, 21:36

IfindU

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Zitat:

Original von Leopold
Ich kenne die Graßmann-Identität als eine Formel beim Vektorprodukt mit drei Faktoren. Als Dimensionsformel für Vektorräume ist sie mir noch nie begegnet. Gibt es da einen Zusammenhang? Oder ist das nur ein Zuordnungsfehler? Wer klärt mich auf? verwirrt

Ich bin kein Algebraiker, ich kannte auch nur die Graßmann-Identität des Kreuzprodukts. Aber Graßmann war genial und die Mathematik groß. Hatte keinen Zweifel, dass die Formel auch nach ihm benannt ist Big Laugh

17.01.2022, 21:42

Leopold

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Zitat:

Original von HiBee123
Also bei uns stand über der Dimensionsformel der Name: Grassmann-Identität...

Diese Dimensionsformel kann unmöglich von Graßmann selbst stammen. Zu seiner Zeit gab es noch keine Vektorräume und linearen Abbildungen. Der Name Graßmann-Identität ist daher nur sinnvoll, wenn diese Dimensionsformel einen inhaltlichen oder formalen Zusammenhang mit der klassischen Graßmann-Identität aufweist. Eine primitive Google-Suche führt zu keinem Ergebnis. Aber vielleicht ist da auch wirklich nur eine Bildunterschrift verrutscht.

17.01.2022, 21:54

HiBee123

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A pros pros Grassmann, Vor lauter Enthusiasmus habe ich übersehen, dass ich ja immer noch diese Identität zeigen muss. Aber das sieht aus wie ein Einzeiler. Weil die Dimension von U/V ja gleich
Dim(U)-Dim(V) ist und die Isomorphie bedeutet, dass beide Seiten die gleiche Dimension haben... ja also dass dürfte klappen..
p.s.: Ich glaube es gibt da irgendeinen Zusammenhang mit Grassmann (So doof sind unsere Lehrenden nicht, wobei... ne, ich glaub das war Absicht...)

17.01.2022, 22:24

Leopold

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Zitat:

Original von HiBee123
So doof sind unsere Lehrenden nicht

Unterschätze niemals die dir vorgesetzten Menschen. Augenzwinkern

27.07.2023, 11:21

petef

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@Leopold:

Google mal nach "Der Mathematische Monatskalender: Hermann Graßmann (1809–1877)" von Spektrum der Wissenschaft (1.10.2017). Dort heißt es:
"Graßmann geht auch auf Unterräume ein; er beweist die Dimensionsformel für die Vereinigung zweier Unterräume U und W."

28.07.2023, 12:13

IfindU

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von HiBee123
Also bei uns stand über der Dimensionsformel der Name: Grassmann-Identität...

Wikipedia sagt sogar, dass der Begriff/Definition "n-dimensionaler Vektorraum" von Grassmann stammt: Wiki.
Und wenn er sich explizit mit der Dimension von Vektorräumen befasst hat und das sauber definiert, hat er sich sicher auch damit beschäftigt wie sich das mit Unterräumen verhält.

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