Freunde sitzen nebeneinander, verschiedenfarbige Mützen

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345abcf Auf diesen Beitrag antworten »
Freunde sitzen nebeneinander, verschiedenfarbige Mützen
Freunde sitzen nebeneinander. Sie tragen Mützen in verschiedenen Farben.

Gesucht sind:
(a) Möglichkeiten, dass je zwei Nachbarn nicht Mützen mit der gleichen Farbe tragen
(b) Möglichkeiten, sodass die Bedingung aus (a) gilt und zusätzlich die erste und die letzte Person nicht Mützen mit der gleichen Farbe tragen.




Mir ist nicht ganz klar. Sei die Mützenfarbe der i-ten Person.

Wenn gilt, dann kann sein, aber es muss doch nicht sein (wir haben ja nicht nur 2 Farben). Ziehen wir dann nicht durch das zu viel ab?

z.B.:

n=4
rot, grün, blau, rot (so einen Fall wollen wir nicht)
rot, grün, blau, grün (das wäre ja okay. Aber ziehen wir ziehen doch auch diese Fälle oben ab)

Wo ist mein Denkfehler?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht verstehst du es besser, wenn wir es anders herum (als Summe) begründen:

Wir betrachten alle Mützenverteilungen, welche (a) erfüllen.

1.Fall: Erste und letzte Mütze sind verschieden. Deren Anzahl ist offenbar .

2.Fall: Erste und letzte Mütze sind gleich. Dazu ist zwingend erforderlich, dass erste und vorletzte Mütze nicht gleich sind, es gibt damit Konfigurationen für Mütze 1 bis n-1, während die letzte n-te Mütze automatisch festgelegt ist (sie muss ja gleich der ersten sein).

Das ergibt , umgestellt .


P.S.: Explizite Formel für (b) íst übrigens
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