DGL System mithilfe Laplace Transformation lösen

18.01.2022, 18:59	blip	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL System mithilfe Laplace Transformation lösen Hallo, Die Aufgabe ist folgende: Berechne mithilfe der Laplace Transformation die zweite Komponente(y2) folgender DGL: $\begin{eqnarray} y(t)^{\prime} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}y(t) = \begin{pmatrix} 0\\t \end{pmatrix}, t > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0+) = 0 \end{eqnarray}$ wobei y folgende Komponenten hat: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y1\\y2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun war mein Ansatz einfach die matrix als ganze mit laplace zu transformieren mithilfe des differentiationsansatzes: $\begin{eqnarray} sY(s) - y(0+) - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}Y(s) = \begin{pmatrix} 0\\1/(s^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ s ist hierbei als substitution für x in dem laplacebereich gewählt worden. Nun komme ich jetzt nicht mehr hier weiter. Normalerweise sollte man ja hier dann nach y(t) auflösen und dann zurücktransformieren nur schaffe ich das leider nicht. Wie geht man nun weiter vor? Gute grüße, blip
19.01.2022, 17:50	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL System mithilfe Laplace Transformation lösen Hallo, ich nehme an , das laut Aufgabe gilt: $\begin{eqnarray} y_{1} (0)=y_{2} (0)=0 \end{eqnarray}$ ----> 1) $\begin{eqnarray} y_{1} (t)' - y_{2} (t) =0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} y_{2} (t)' +2 y_{1} (t) = \frac{1}{s^{2} } \end{eqnarray}$ ------> 1) $\begin{eqnarray} - y_{1}(0) +s F_{1} (s) - F_{2}(s) =0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} - y_{2}(0) +s F_{2} (s) +2 F_{1}(s) =\frac{1}{s^{2} } \end{eqnarray}$ Stelle nun 1) nach $\begin{eqnarray} F_{1}(s) \end{eqnarray}$ um , und setzte das Ganze in 2) ein. Stelle dann nach $\begin{eqnarray} F_{2} (s) \end{eqnarray}$ um. Dann transformiere zurück -> $\begin{eqnarray} y_{2} (t) \end{eqnarray}$ =
20.01.2022, 17:15	blip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Top vielen dank! Nun habe ich folgendes Ergebnis raus für y2 im laplace bereich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{s(s^2+2)} \end{eqnarray*}$ Dies hab ich versucht mithilfe der polstellen zu lösen nur leider gibt es nur eine polstelle/Nullstelle des Nenners bei 0. Doe anderen beiden existieren nicht/sind im imaginärbereich. Wie soll man da weiter vorgehen um das Ergebnis zu transformieren? Schonmal vielen dank für die hilfreiche Antwort. Gruß, blip
20.01.2022, 17:56	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Eine Möglichkeit wäre Partialbruchzerlegung mit anschl. Koeffizientenvergleich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{s(s^{2}+2) } = \frac{A}{s} +\frac{Bs+C}{s^{2} +2} \end{eqnarray}$ mal Hauptnenner ergibt: $\begin{eqnarray} 1= A(s^{2} +2) +(Bs+C)s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1= As^{2} +2A +B s^{2} +Cs \end{eqnarray}$ dann weiter mit Koeffizientenvergleich
21.01.2022, 00:00	blip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ahh ja das hatte ich ja ganz vergessen mit der komplexen darstellung. Jedenfalls hab ichs dank deiner Hilfe raus. Das Ergebnis der Aufgabe ist: $\begin{eqnarray} 1/2 (1+cos(\sqrt{2}t)) \end{eqnarray}$ nochmal vielen Dank Gruß, blip
21.01.2022, 07:21	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Plus muß ein Minus sein, ansonsten stimmt das Ergebnis.
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