Nullsummenspiel

20.01.2022, 02:09	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullsummenspiel Das Nullsummenspiel Spiel : Zwei Spieler wählen verdeckt je 3 nichtnegative reelle Zahlen mit Summe 1 aus. Spieler 1 : x1+x2+x3=1 und Spieler 2: y1+y2+y3=1 Wie das zu bewerkstelligen ist, wurde hier Zufällige positive Zahlen mit Summe 1 schon ausreichend behandelt. Oder etwas blumiger: 2 Generäle mit gleicher Truppenstärke müssen 3 Stellungen einnehmen. Wer auf 2 Hügel die Mehrzahl an Soldaten hinschickt hat diese eingenommen und den Tagessieg erzielt. Die Auszahlung aus Sicht von Spieler I ist : $\begin{eqnarray} A(\vec x ,\vec y)= sgn(x_1-y_1)+sgn (x_2-y_2) + sgn(x_3-y_3) \end{eqnarray}$ Die Wahl eines solchen Tripels kann als Punkt und dessen baryzentrische Koordinaten in einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 1 angesehen werden. (reine Strategie). Für Spieler I sieht das dann nach Wahl von P so aus: [attach]54374[/attach] Spieler II verliert, wenn er seinen Punkt Q im grauen Bereich wählt = Schnittpunkt der gestrichelten Linien. Im restlichen Bereich gewinnt er hingegen. Auf den Trennlinien ist $\begin{eqnarray} A(x,y)=0 \end{eqnarray}$ , sprich unentschieden. [attach]54375[/attach] Was ist die optimale Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Wahl von P (gemischte Strategie), falls es die überhaupt gibt? meine Ideen bisher: Rein optisch würde ich erst mal die Ecken symmetrisch beschneiden, da dort schnell 2 X Koordinaten von 2 Y Koordinaten dominiert werden. Eventuell bleibt sogar ein reguläres Sechseck als Menge übrig. Gleichzeitig müsste die Dichte aus demselben Grund radial ansteigen. Aber auch der Innkreis bietet sich als Menge aller Dichte-Werte > 0 an und zwar derart, dass die Dichte monoton zum Rand hin ansteigt. Wie könnte diese Dichte direkt in $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray}$ aussehen?
20.01.2022, 11:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für endliche Strategienmengen beider Seiten, und entsprechender Auszahlungsmatrix, sind solche Nullsummenspiele ja vollständig erforscht: Gemäß Minimax-Theorem von John von Neumann gibt es da für beide Generäle eine gemischte Strategie, so dass das Spiel im Nash-Gleichgewicht ist. Da könnte man hier doch einfach mal pragmatisch so vorgehen: Den (zweidimensionalen) Strategienraum $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,1-x_1-x_2) \end{eqnarray}$ hinreichend fein diskretisieren (Gitter), dasselbe bei $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , dafür die Auszahlungsmatrix berechnen und damit dann einen entsprechenden Algorithmus füttern - mal sehen was der ausspuckt. Aus dem Ergebnis lässt sich dann vielleicht auch schließen, wie die zugehörige stetige Strategienverteilung aussehen könnte.
21.01.2022, 08:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, sicher ein praktischer Ansatz. Wegen Symmetrie "genügt" ja eine Funktion( Radius der Polarkoordinaten) der 2-dim. Dichte, falls man sich auf einen Kreis beschränkt..

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