Verteilung einer "verschachtelten" Zufallsvariable

21.01.2022, 13:53

TheWind5urfer

Verteilung einer "verschachtelten" Zufallsvariable

Hallo, ich muss folgende Aufgabe in meiner Stochastik - Übung bearbeiten:

[attach]54380[/attach]

Ich habe leider wirklich keine Ahnung, wie genau ich das machen soll und finde in unserer VL auch keine dementsprechenden Hinweise. Hat jemand einen Tipp, wie ich das angehen kann?

Vielen Dank

5urfer

21.01.2022, 14:16

HAL 9000

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Nun ja, $\begin{eqnarray*} S_n^* \end{eqnarray*}$ entsteht aus $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ einfach durch eine lineare Transformation $\begin{eqnarray*} S_n^* = aS_n + b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{\sqrt{np(1-p)}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b = -\frac{np}{\sqrt{np(1-p)}} \end{eqnarray*}$ :

Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} S_n^* \end{eqnarray*}$ ebenso wie $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ eine diskrete Zufallsgröße ist, welche $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ verschiedene Werte annehmen kann. Das sind dann nur eben nicht die Werte $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ , sondern die transformierten Werte. D.h., die eigentlichen Wahrscheinlichkeiten bleiben erhalten, sie "wandern" nur an andere Positionen! In Formeln: In a) ist anzugeben

$\begin{eqnarray*} p_k := P\left( S_n^* = \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

Hier das ganze für $\begin{eqnarray*} n=20,p=0.3 \end{eqnarray*}$ .

In b) ist die Klasseneinteilung freundlicherweise so gewählt, dass die genannte Klasse genau nur den einen möglichen Wert $\begin{eqnarray*} S_n^* = \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}} \end{eqnarray*}$ beinhaltet, somit entspricht der Histogrammwert exakt $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ .

21.01.2022, 16:51

TheWind5urfer

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Sehe ich das so richtig:

Ich setze mein k zB als k=n, also 20. Dann berechne ich meinen Wert für Sn*, das wäre dann hier 17,07. Diesen Wert setze ich in die Binomialverteilung ein, da ich mein k nun verschoben habe. Dann würde ich die herauskommende Wahrscheinlichkeit meinem k=20 zuordnen.

Aber das macht ja keinen Sinn, da ich in den Binomialkoeffizienten keine rationalen Zahlen einsetzen darf.

Ich verstehe die lineare Transformation. Nur die Berechnung der Wahrscheinlichkeit macht mir da Probleme.

21.01.2022, 17:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von TheWind5urfer
Sehe ich das so richtig:

Ich setze mein k zB als k=n, also 20. Dann berechne ich meinen Wert für Sn*, das wäre dann hier 17,07.

Für $\begin{eqnarray*} n=20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0.3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx \frac{k-6}{2.0494} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} k=20 \end{eqnarray*}$ ergibt das einen Wert von ungefähr 6.8313.

Zitat:

Original von TheWind5urfer
Aber das macht ja keinen Sinn, da ich in den Binomialkoeffizienten keine rationalen Zahlen einsetzen darf.

Wie kommst du denn auf die Schnapsidee, das tun zu müssen??? Schau dir nochmal die Formel GENAU an. Forum Kloppe

21.01.2022, 23:58

TheWind5urfer

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Okay Hal, ich glaube, ich habe das jetzt ganz gut verstanden, im Prinzip verschieben ich nur meine Wahrscheinlichkeiten...Das sieht dann bei mir etwa so aus:

[attach]54381[/attach]

Entschuldigung für den Diagrammtyp, Excel hat gerade nichts besseres hergegeben.

22.01.2022, 09:02

HAL 9000

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Ja, genauso ist es. Und die Transformation hier ist ja nicht zufällig gewählt, sondern entspricht der üblichen Standardisierungsoperaion $\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}} \end{eqnarray*}$ , welche eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit endlicher Varianz in eine normierte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E(Z)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(Z)=1 \end{eqnarray*}$ überführt.

Im Falle unserer binomialverteilten $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ geht dann dieses $\begin{eqnarray*} S_n^* \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ in Verteilung in eine standardnormalverteilte Zufallsgröße über, wobei man am Histogramm für $\begin{eqnarray*} n=20 \end{eqnarray*}$ vielleicht schon etwas erahnen kann, wohin die Reise für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ geht:

Gaußsche Glockenkurve mit Maximum bei 0 und Wendepunkten bei $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ als Dichte. Ok, das mit den Wendepunkten dürfte bei n=20 noch nicht so deutlich erkennbar sein. Augenzwinkern

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