Bool'sche Algebra

21.01.2022, 15:34

Halfdan

Bool'sche Algebra

Moin, ich muss offen sagen das ich bei dem Thema den Eindruck habe rein gar nichts verstanden zu haben.

Zb folgende Aufgabe:

Vorbemerkung: $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ hat nichts mit der Division zu tun, da der Gruppenoperation * i.a. nicht die Multiplikation bedeutet. Sie müssen also anders argumentieren.

Zeigen Sie, dass in einer Gruppe $\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich habe eine Folie nützliche Äquivalenzumformungen. Da sind unter anderem Kommutativ und Assoziativgesetz drauf, also darf ich die ja bestimmt nutzen.

Darf ich dann: $\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = (y*x)^{-1} \end{eqnarray*}$ [Begründung: * ist kommutativ]?
Aber dann weiss ich nicht weiter, welche näcshte Operation mir erlaubt ist. Bzw ob das überhaupt der richtige Gedanke ist?

21.01.2022, 15:45

HAL 9000

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Kommutativität ist nicht vorausgesetzt und darfst du deshalb auch nicht nutzen.

Was musst du hier eigentlich nachweisen: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist Inverse von $\begin{eqnarray*} x*y \end{eqnarray*}$ dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} a*(x*y) = n \end{eqnarray*}$ (mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) gilt.

Versuchen wir das doch mal für $\begin{eqnarray*} a = y^{-1} * x^{-1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a * (x * y) = \left(y^{-1} * x^{-1}\right) * (x * y) = \ldots \end{eqnarray*}$

Zur Erinnerung: Die Gruppenoperation ist assoziativ, d.h., du kannst die Klammern in einem solchen Mehrfachprodukt beliebig neu setzen - vertauschen darfst du die Operanden aber nicht.

EDIT: Die Threadüberschrift halte ich für ziemlich neben der Spur...

21.01.2022, 15:47

zweiundvierzig

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Es genügt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (x*y)*(y^{-1}*x^{-1}) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Eine Gruppe ist i.a. nicht kommutativ. Das Oberthema ist Gruppentheorie, nicht boolesche Algebra.

Edit: Sorry für den Doppelpost.

23.01.2022, 15:35

Halfdan

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Ja sorry für die Verwirrung. Wir haben gerade das Thema Bool'sche Algebra. Bzw ist das Thema der Übung sowie auch Folie eben dieses. Aber der Foliensatz beginnt mit einem Kapitel "Algebraische Strukturen"..

Okay für eine Gruppe gilt: Assoziativität, es gibt ein neutrales Element. Jedes Element hat ein inverses.

Aber ich blicke trotzdem hier nicht durch. Wie soll ich denn bitte zeigen das ich das Vorzeichen aus der Klammer rausziehen darf? also zb $\begin{eqnarray*} (y^{-1}*x^{-1}) = (y*x)^{-1} \end{eqnarray*}$ Mir scheint das ganze gerade zu abstrakt um das zu verstehen.

23.01.2022, 15:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} a * (x * y) = \left(y^{-1} * x^{-1}\right) * (x * y) = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots = y^{-1} * \left( x^{-1} * (x * y) \right) = y^{-1} * \left( \left( x^{-1} * x\right) * y \right) \end{eqnarray*}$ alles Umformungen gemäß Assozitativgesetz.

Und nun: Keine Ahnung, wie man $\begin{eqnarray*} x^{-1} * x \end{eqnarray*}$ vereinfacht?

23.01.2022, 16:26

Halfdan

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$\begin{eqnarray*} x^{-1}*x = n \end{eqnarray*}$ ( neutrales Element)

Aber ich kann hier schon nicht folgen: $\begin{eqnarray*} a*(x*y)=(y^{-1}*x^{-1}) \end{eqnarray*}$
Wieso ist es hier erlaubt, bzw wieso wechseln hier x und y die Reihenfolge?

23.01.2022, 17:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Halfdan
Aber ich kann hier schon nicht folgen: $\begin{eqnarray*} a*(x*y)=(y^{-1}*x^{-1}) \end{eqnarray*}$

Hat ja auch keiner behauptet - diese Behauptung ist ganz allein auf deinem Mist gewachsen.

Was hier rauskommen muss, habe ich oben doch DEUTLICH geschrieb - lies doch bitte gründlich, bevor du solche Unsinns-Schlussfolgerungen ziehst:

Zitat:

Original von HAL 9000
Was musst du hier eigentlich nachweisen: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist Inverse von $\begin{eqnarray*} x*y \end{eqnarray*}$ dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} a*(x*y) = {\color{red}n} \end{eqnarray*}$ (mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) gilt.

Versuchen wir das doch mal für $\begin{eqnarray*} a = y^{-1} * x^{-1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a * (x * y) = \left(y^{-1} * x^{-1}\right) * (x * y) = \ldots \end{eqnarray*}$

Es sollte also $\begin{eqnarray*} {\color{red}n} \end{eqnarray*}$ bei der von mir begonnenen Gleichungskette rauskommen, nicht $\begin{eqnarray*} a*(x*y)=(y^{-1}*x^{-1}) \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

24.01.2022, 10:02

Halfdan

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Ich weis nicht ob wir gerade aneinander vorbei reden. Aber das n rauskommt habe ich doch gesagt?!

bzw: $\begin{eqnarray*} x^{-1}*x = n \end{eqnarray*}$ ( neutrales Element)

somit
$\begin{eqnarray*} a * (x * y) = \left(y^{-1} * x^{-1}\right) * (x * y) =y^{-1} * \left( x^{-1} * (x * y) \right) = y^{-1} * \left( \left( x^{-1} * x\right) * y \right) = (y^{-1} * n * y ) = n * n = n ) \end{eqnarray*}$

Da n das neutrale Element ist darf ich das weglassen/kürzen nehme ich mal an?

Meine Gleichung die gegeben ist, ist ja $\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$ muss ich da nicht mit
$\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = ... \end{eqnarray*}$ beginnen und bei $\begin{eqnarray*} ... = (y*x)^{-1} \end{eqnarray*}$ enden?

Weil falls nicht liegt da schon eines meiner Verständnisprobleme.

24.01.2022, 11:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Halfdan
Aber das n rauskommt habe ich doch gesagt?!

Bleiben wir mal bei den Tatsachen: Du hast gesagt

Zitat:

Original von Halfdan
Aber ich kann hier schon nicht folgen: $\begin{eqnarray*} a*(x*y)=(y^{-1}*x^{-1}) \end{eqnarray*}$

Wenn du eine Formel komplett falsch zitierst, dann ist das schon mal der grausige Beginn eines "aneinander vorbei reden".

-----------------------------------------------------------

Der Sinn des Nachweises $\begin{eqnarray*} a*(x*y)=n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a=y^{-1} * x^{-1} \end{eqnarray*}$ besteht doch darin, dass damit für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ja auch die Darstellung $\begin{eqnarray*} a = (x*y)^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt - und damit ist man fertig!!!

Zitat:

Original von Halfdan
$\begin{eqnarray*} \ldots = (y^{-1} * n * y ) = n * n = n ) \end{eqnarray*}$

Na zunächst mal eher $\begin{eqnarray*} \ldots = (y^{-1} * n * y ) = y^{-1} * y = n \end{eqnarray*}$ .

25.01.2022, 10:47

Halfdan

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Ja entschuldigung, ich wollte nur einen Teil zitieren, werde das nächste mal zusätzlich ... hinschreiben.

Eine generelle Verständnisfrage, um nachzuweisen dass die Prämisse der Aufgabe gilt, zeigen wir durch die Gleichung(sumformungen) dass es ein neutrales Element gibt?

Ich danke dir

25.01.2022, 11:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Halfdan
Ja entschuldigung, ich wollte nur einen Teil zitieren, werde das nächste mal zusätzlich ... hinschreiben.

Aber bitte nur bei sehr langen Formeln und wenn im Kontext zweifelsfrei klar ist, welche Formel gemeint ist. Im vorliegenden Fall, wo du zwei mickrige weitere Operanden einfach so weggelassen hast, schreib doch einfach diese Operanden statt ... , man kann die Schreibfaulheit schließlich auch übertreiben.

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