Determinante berechnen

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laurin Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen
Meine Frage:
Hallo, die Unbekannten a, b und c aus einem Körper K sind alle paarweise unterschiedlich. Zu Zeigen ist nun, dass gilt: det(1 1 1 , a b c, a^2, b^2, c^2) ungleich 0.
Die Darstellung der Matrix ist hier etwas schwer, aber ich hoffe, es trotzdem verständlich, was ich meine.

Meine Ideen:
Also ausgerechnet wäre die Determinante dann ja bc^2 + ca^2 + ab^2 - ba^2 - cb^2 - ac^2. Wie genau man daraus aber zeigen soll, dass es ungleich 0 ist, weiß ich leider nicht.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Grunde würde ich hier mal das Gauß-Verfahren anwenden
Wir können oBdA annehmen, dass gilt. Dann lässt sich darstellen: , wobei ist.
Betrachten wir
.
Diese hat die gleiche Determinante wie .
Wegen lassen sich die zweite und dritte Zeile noch durch bzw. dividieren. Dann könnte man wahrscheinlich leicht Aussagen über lineare Unabhängigkeiten treffen.

Für den Rest bin ich gerade leider zu müde, aber schaue später gerne wieder rein smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vandermonde
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ichwarneu
Wir können oBdA annehmen, dass gilt.


Da musst du schon ein wenig aufpassen, weil es ein allgemeiner Körper ist. Ist z.B. oder gemeint, so scheitert die Annahme schon.

Zitat:
.
Diese hat die gleiche Determinante wie .


Du meintest sicherlich
. Mit der Multilinearität der Determinante in Zeilen kann man statt zu dividieren auch die Determinante exakt bestimmen, da . Und das ist schon fast in Diagonalform!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann aufs Rechnen fast ganz verzichten.



ist ein Polynom in den Unbestimmten vom Grad 3. Indem man als Variable auszeichnet und als Parameter auffaßt, wird mit



ein quadratisches Polynom in . Wegen und (jeweils zwei Spalten der Determinante sind gleich) kann man die Linearfaktoren und abspalten. Indem man die Rollen vertauscht, sieht man, daß auch durch teilbar ist. Aus Gradgründen ist man jetzt fertig. Es gibt somit eine Konstante mit



Die Hauptdiagonale der Determinante liefert das Glied . Durch eine andere Kombination von Zeilen und Spalten kann dieses Glied nicht entstehen. Das entsprechende Glied, das beim Ausmultiplizieren der Faktorzerlegung entsteht, ist . Ein Vergleich zeigt: , und damit

Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Zitat:
Original von ichwarneu
Wir können oBdA annehmen, dass gilt.


Da musst du schon ein wenig aufpassen, weil es ein allgemeiner Körper ist. Ist z.B. oder gemeint, so scheitert die Annahme schon.

Zitat:
.
Diese hat die gleiche Determinante wie .


Du meintest sicherlich
. Mit der Multilinearität der Determinante in Zeilen kann man statt zu dividieren auch die Determinante exakt bestimmen, da . Und das ist schon fast in Diagonalform!


Ich danke dir für diese Klarstellungen. Da war ich in der Tat viel zu voreilig. Danke sehr! Freude
 
 
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