Die Inverse einer Abbildung hat eine Adjungierte

23.01.2022, 12:44	ImTheSuffering	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Inverse einer Abbildung hat eine Adjungierte Meine Frage: V ist VR mit SKP, f Endomorphismus mit Adjungierten f* Seien f und f* invertierbar. Zeige, dass f^(-1) eine Adjungierte ( nämlich (f^(-1))* ) Meine Ideen: Allgemeine Gleichung: <w , f(v)> = <f*(w) , v>
23.01.2022, 21:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Inverse einer Abbildung hat eine Adjungierte Ich nehme an es geht um endlichdimensionale VR. Ich würde mit $\begin{eqnarray} <x,y>=<x,ff^{-1}y>=<f^x,f^{-1}y> \end{eqnarray*}$ anfangen und dann die linke Seite passend umschreiben.
26.01.2022, 22:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Per definitionem ist die adjungierte Matrix $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ zu einer gegebenen Matrix f diejenige, für welche gilt $\begin{eqnarray} (fx\|y)=(x\|f^y) \end{eqnarray}$ . Ersetzt man in dieser Definition einfach $\begin{eqnarray} f \rightarrow f^{-1} \end{eqnarray}$ , dann steht das Gewünschte da.
27.01.2022, 08:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos: Setzt du an der Stelle nicht voraus, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ bereits eine Adjungierte besitzt? Es könnte ja a priori sein, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine besitzt, aber $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ nicht.
28.01.2022, 09:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU Wenn zu einer Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} A:R^n \rightarrow R^n \end{eqnarray}$ eine Inverse $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ existiert , so hat diese immer eine Adjungierte, die man bekanntlich durch Transponieren und Konjugieren erhält. Ich sehe da eigentlich keinen Bedarf an einem Beweis.

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