Logistisches Wachstum

23.01.2022, 19:59

brooo

Logistisches Wachstum

Meine Frage:
Ich soll beweisen ,dsss der Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion zugleich ihr Symmetriezentrum ist, wenn man alle Reele Zahlen als Definitionsmenge zugrunde legt.

Meine Ideen:
ich glaub man sollte von der Funktion s/ 1+ (s/f(0)-1)^e-kst die Ableitung bilden ??? kann mir pls jmd helfen

23.01.2022, 20:32

HAL 9000

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Mit $\begin{eqnarray*} t_w := \frac{1}{ks}\ln\left(\frac{s}{f(0)}-1\right) \end{eqnarray*}$ kann man die logistische Funktion umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{s}{1 + \left(\frac{s}{f(0)}-1\right)e^{-kst}} = \frac{s}{1 + e^{-ks\left(t-t_w\right)}} = \frac{s}{2}\left[ 1 + \tanh\left( \frac{1}{2}ks\left(t-t_w\right)\right) \right]\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist die Tangenshyperbolicus-Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \tanh(x) \end{eqnarray*}$ punktsymmetrisch im Nullpunkt (0,0), und besitzt dort auch einen Wendepunkt. Was kann man daraus gemäß Darstellung (*) für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgern?

23.01.2022, 21:11

forscher22

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Zitat:

ich glaub man sollte von der Funktion s/ 1+ (s/f(0)-1)^e-kst die Ableitung bilden ?

Die 1. und 2. Ableitung davon zu bilden ist vermutlich nicht sonderlich angenehm (du hast im Nenner noch Klammern vergessen).

Einfacher wäre das Ableiten wohl mit der zugrunde liegenden DGL $\begin{eqnarray*} f'(t)=k \cdot f(t) \cdot (s-f(t)) \end{eqnarray*}$ .
Da du in der Schulmathematik postest, weiß ich nicht, ob dieser Zusammenhang bekannt ist.
Falls ja, hier könntest du allgemein mit der Produktregel arbeiten, siehe auch hier:

de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion#Berechnung_des_Wendepunkts

Andererseits könnte man auch intuitiv am Graphen vermuten und begründen, dass die y-Koordinate yw des Wendepunktes offenbar genau zwischen der unteren Schranke 0 und der oberen Schranke s liegen muss.
Die Gleichung f(t)=s/2 lässt sich dann auch von Hand ganz gut nach der Wendestelle xw=t auflösen.

Danach könnte man dann noch per f(t+xw) - yw in den Ursprung verschieben und via f(-t)=-f(t) die zu zeigende Behauptung beweisen.

24.01.2022, 10:20

mYthos

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Auf welchem Weg auch immer, man kommt bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac s {1 + b \cdot a^t} \end{eqnarray*}$ zuletzt auf die Koordinaten des Wendepunktes W

$\begin{eqnarray*} W\left(-\frac{\ln b}{\ln a} \ \big| \ \frac s 2\right) \end{eqnarray*}$

Bei der Punkt-Symmetrie zu $\begin{eqnarray*} W(x_w \ | \ y_w) \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} f(2x_w - t) = 2y_w - f(t) \end{eqnarray*}$ gelten.

mY+

24.01.2022, 10:34

Leopold

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Mit einer Verschiebung um die erste Koordinate des Wendepunktes nach links und axialen Streckungen bekommt man den Graphen der Funktion

$\begin{align*} \varphi(t) = \frac{1}{1 + \operatorname{e}^{-t}} \end{align*}$

Die geometrischen Operationen erhalten die Wendepunkteigenschaft. Der Wendepunkt befindet sich jetzt in $\begin{align*} W = \left( 0 \, , \frac{1}{2} \right) \end{align*}$ . Um zu zeigen, daß der Graph von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ punktsymmetrisch zu $\begin{align*} W \end{align*}$ ist, muß man

$\begin{align*} \varphi(t) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \varphi(-t) \end{align*}$

nachweisen. Besonders einfach wird das Ziel, wenn man die Behauptung äquivalent umformt:

$\begin{align*} \varphi(t) + \varphi(-t) = 1 \end{align*}$

Die Arbeit steckt bei diesem Ansatz in den Normierungen. Der Rest ist dann simpel.

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