Nullstellenberechnung

24.01.2022, 15:33

Luchs01

Nullstellenberechnung

$\begin{eqnarray*} (a^4+b^4)x²-2(a²+b²)x+1=0 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen habe ich. Ich arbeite nämlich mit einem Lösungsbuch, aber der Weg dorthin überschreitet mein Geschick im Umformen.

Ich teile erst durch $\begin{eqnarray*} (a^4+b^4) \end{eqnarray*}$ . Dann möchte ich die p,q-Formel nutzen, um die Nullstellen auszurechnen. Aber dann wird es sehr unübersichtlich für mich.
Für jede Hilfe wäre ich dankbar,.

24.01.2022, 16:22

Helferlein

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Nun ja, die pq-Formel liefert die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x= \frac{a^2+b^2}{a^4+b^4} \pm \sqrt{\cdot \left(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}\right)^2-\frac 1{a^4+b^4}} \end{eqnarray*}$

Den letzten Bruch sollte man danach mit $\begin{eqnarray*} (a^4+b^4) \end{eqnarray*}$ erweitern und den Zähler geeignet zusammenfassen. Dann bleibt am Ende gar nicht mal soviel übrig.

24.01.2022, 16:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Luchs01
$\begin{eqnarray*} (a^4+b^4)x²-2(a²+b²)+1=0 \end{eqnarray*}$

Interessant, dass hier ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vergessen wurde, Helferlein es aber dennoch gelesen hat. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (a^4+b^4)x²-2(a²+b²)x+1=0 \end{eqnarray*}$

P.S.: Meinem Augenarztbesuch am Freitag sehe ich gelassen entgegen.

24.01.2022, 16:36

mYthos

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Ich auch. Aber es ist eher der scharfe mathematische Blick. Big Laugh

Den Fehler habe ich gerade vorhin korrigiert. Augenzwinkern

mY+

24.01.2022, 16:58

HAL 9000

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Die Verwandtschaft zu der letztens von klauss angegebenen Faktorisierung von a^4+b^4 ist unverkennbar.

24.01.2022, 17:33

Luchs01

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$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{a²+b²}{a^4+b^4}\pm\sqrt{\frac{2a²b²}{(a^4+b^4)²}} \end{eqnarray*}$

Darf ich jetzt einfach die Wurzeln ziehen?

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{a²+b²}{a^4+b^4}\pm\frac{\sqrt{2}{ab}}{a^4+b^4} \end{eqnarray*}$

25.01.2022, 01:59

mYthos

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Ja, die Wurzel aus Zähler und Nenner, das ist richtig!

mY+

29.01.2022, 17:18

Luchs01

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Danke!

Jetzt bin ich einen Schritt weiter. Die Lösung im Lösungsbuch sieht allerdings nochmal ein bisschen anders aus...

29.01.2022, 18:22

mYthos

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Wie denn?
Beachte, dass es unter Umständen für den Lösungsterm verschiedene Darstellungsformen geben kann.

mY+

30.01.2022, 16:14

Luchs01

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Die Lösung im Buch lautet:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{1}{a²\pm\sqrt{2}ab+b²} \end{eqnarray*}$

30.01.2022, 16:24

HAL 9000

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Ich verweise nochmals auf Faktorisierung von a^4+b^4 :

Ersetze die $\begin{eqnarray*} a^4+b^4 \end{eqnarray*}$ hier im Nenner durch das Produkt $\begin{eqnarray*} \left(a^2+\sqrt{2}ab+b^2\right)\left(a^2-\sqrt{2}ab+b^2\right) \end{eqnarray*}$ , dann kannst du bei beiden Lösungen kürzen (mal den einen, mal den anderen Faktor).

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