Beweis beim Integral

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Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis beim Integral
Meine Frage:
Hallihallo

ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:

Zu beweisen:



Als Tipp steht noch dabei man soll als eine Potenzreihe darstellen sich überlegen ob man gliederweise integrieren darf und sichherstellen dass die auftretenden Reihen konvergieren.

Meine Ideen:
Mit der Potenzreihendarstellung habe ich so meine Schwierigkeiten. Laut Wikipedia geht dass über die geometrische Summenformel somit komme ich auf:



Sollte ja soweit funktionieren da |x| < 1 ist. Jetz komme ich da nicht wirklich weiter. Zunächst ist dass ja noch keine Potenzreihendarstellung. Verwirrt bin ich auch weil in der Aufgabenstellung bzw im Tipp von mehreren Reihen die Rede ist. So kann ich aber nicht wikrlich gliederweise integrieren.

Für eine Rückmeldung ob dass so weit passt und einen Hinweis wie es ab hier weitergehen könnte wäre ich dankbar. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, du machst die Sache komplizierter, als sie ist. Du kannst gleich in



substituieren:
Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ha, das habe ich davon aus Wikipedia zu lernen... Stunden meines Lebens verschwendet. Big Laugh

Vielen Dank!

Komme leider bei der Umformung nicht weiter.

Bis jetzt habe ich:



Hab es auch mit der von dir vorgeschlagenen substitution mit t versucht scheint mir aber auch nicht weiter zu helfen. Wie könnte ich da weiter umformen um auf das benötigte Ergebnis zu kommen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schon beim ersten Gleichheitszeichen fehlen Rechenschritte, so daß nicht erkennbar wird, was passiert ist, daß da ein falsches Ergebnis steht. Auf jeden Fall kann das unmöglich im Exponenten der 8 stehen. So geht es los:



Nun integrieren und Integration und Summation vertauschen (du mußt die Zulässigkeit dieser Umformung noch begründen):



Jetzt sei eine Stammfunktion von . Dann kannst du weiterrechnen:



Es fehlen noch ein paar Umformungen. Führe das allein zu Ende.
Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke jetzt habe ich es.

Noch eine Frage zur vertauschung von Summe und Integral: Folgt dass nicht einfach aus der Summenregel?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eve-_
Folgt dass nicht einfach aus der Summenregel?

Bei endlichen Summen ja.

Bei Reihen (wie hier) ist die Sache schon etwas komplizierter - das ist ähnlich wie bei der Umordnung von Reihen:

Ist diese absolut konvergent, dann sind beliebige Umordnungen erlaubt - bei "nur" konvergenten ist da sehr viel weniger gestattet.

Sind aber alle Integranden positiv (wie hier), dann ist man auch bei Reihen im grünen Bereich - bei gemischten Vorzeichen ist aber auf alle Fälle Obacht geboten.
 
 
Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay dann habe ich das jetzt auch verstanden.

Vielen Dank euch beiden!
Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Habe noch eine Frage zu einer Folgeaufgabe (Weiß nicht ob es sich lohnt dafür nochmal ein Beitrag aufzumachen)

Also mit der oben bewiesenen Formel soll ich beweisen



Jetzt kann man ja die Summe umschreiben in



und dann die obere Formel darauf anwenden (nachdem man die Gleichung mit multipliziert hat) und erhält:



Ab hier komme ich nicht weiter. Ich denke mal dass eine Substitution benötigt wird damit die Grenzen der Integrale passen? Finde aber keine passende.. Wie könnte ich ab hier weiter machen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aha! Bailey, Borwein und Plouffe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Führe doch mal die Substitution durch, und zwar in allen vier Integralen (bei denen in deiner Niederschrift übrigens überall das fehlt).
Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Faktor 8 erschien mir auch komisch aber durch Multiplikation von 2^{k/2} steht da doch:



und somit ist ja



oder stehe ich gerade auf dem Schlauch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich hatte mich geirrt - ein anderer Faktor ist falsch:

Zitat:
Original von Eve-_

Ich denke, hier ist



richtig. Jetzt substitutieren - und dann kann man Zähler wie Nenner faktorisieren und ziemlich viele Polynome gegeneinander wegkürzen...
Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja. War so fixiert drauf, dass da überall der selbe Faktor steht.

Mit der Substitution habe ich so meine Schwierigkeiten. Beim ersten Integral wäre, wenn ich mit substituiere:



richtig?

Und meintest du davor ich sollte das ganze am besten zuerst zusammenfassen und dann substituieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein: Es ist dann und folglich , damit bekommt man

Eve-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs vielen Dank. smile Vorallem weil ich jetzt endlich die Integration durch Substitution verstanden habe. Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Integrale geschafft, Zähler faktorisiert und gekürzt? Ging jetzt aber schnell.
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