Ableitung differenzierbarer Funktionen

25.01.2022, 12:06

Xh_12

Ableitung differenzierbarer Funktionen

Meine Frage:
Gibt es nicht Konstante diffbare Funktionen f,g,:R->R mit (fg)'=f'g'?

Meine Ideen:
Meine Idee wäre es mir zwei Expontialfunktion anzuschauen und zwar in der Form von a*e^(k*x)
eine habe ich gefunden f(x)= 2*e^(x-e^x).
Danke im Voraus smile

25.01.2022, 13:10

HAL 9000

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Du meinst $\begin{eqnarray*} f(x)= 2\cdot e^{x-e^x} \end{eqnarray*}$ ? Und mit welchem $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ soll das klappen? verwirrt

(EDIT: Es klappt z.B. mit $\begin{eqnarray*} g(x) = e^{x+e^{-x}} \end{eqnarray*}$ .)

Beim Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{bx} \end{eqnarray*}$ führt Bedingung $\begin{eqnarray*} (fg)'=f'g' \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (a-1)(b-1)=1 \end{eqnarray*}$ mit unendlich vielen reellen Lösungspaaren $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} a=2,b=2 \end{eqnarray*}$ .

25.01.2022, 13:31

Xh_12

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(fg)'=f'*g+f*g' kettenregel

f(x)= e^(a*x) und g(x)=e^(b*x)

a*e^(a*x) * e^(b*x) + e^(a*x) * b*e^(b*x)
= a*e^(ax+bx) + b*e^(ax+bx) =(fg) '
-> f'g' =f' * g' + f' * g' ?
2ab* e^(x(a+b))=f'g'

So ?
Ich weiß nicht wie ich die Verkettung f'g' aufschreiben soll :/

25.01.2022, 13:34

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} f'g' \end{eqnarray*}$ ist keine Verkettung, sondern nur das Produkt zweier Ableitungen.

Und die Berechnung von $\begin{eqnarray*} (fg)' \end{eqnarray*}$ hättest du bei meinem Ansatz auch einfacher haben können:

$\begin{eqnarray*} (fg)' = \left(e^{ax}\cdot e^{bx}\right)' = \left(e^{(a+b)x}\right)' = (a+b)e^{(a+b)x} \end{eqnarray*}$ .

25.01.2022, 13:34

Xh_12

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Könntest du mir vielleicht zeigen wie ich f'g' umschreiben ? Dann versuche ich es mit dem von dir vorgeschlagenen g.
Danke für die Hilfe

25.01.2022, 13:36

Xh_12

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super Dankeschön smile

25.01.2022, 13:36

HAL 9000

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Es kursieren hier zwei Ansätze - deiner und meiner. Wenn du also bloß von f,g bzw. f',g' redest, weiß ich nicht, über welchen Ansatz du nun gerade redest.

25.01.2022, 13:41

Xh_12

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Also (fg)' ist die bekannte Kettenregel, (fg)'=f'*g+f*g'
Nun soll ich zwei diffbare Funktionen finden wo gelten soll, (fg)'=f'g' wobei f'g' das Produkt der Ableitungen ist.

Oder ist (fg)' eben falls ein Produkt von dem dann die Ableitung genommen wird...

Dh. es ist egal ob die deine f und g nehmen und es damit zeige oder mit meinem f und deinem vorgeschlagenen g.
Reicht es anhand eines Beispiels,da ja nur danach gefragt ist ob es solche Funktionen gibt?

25.01.2022, 13:51

HAL 9000

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Naja, dann reicht ja $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)=e^{2x} \end{eqnarray*}$ als Beispiel.

Bei schon vorgegebenem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kann man so vorgehen: $\begin{eqnarray*} f'g + fg' = f'g' \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} (f'-f)g' = f'g \end{eqnarray*}$ und weiter

$\begin{eqnarray*} \frac{g'}{g} = \frac{f'}{f'-f} \end{eqnarray*}$ , dann integrieren

$\begin{eqnarray*} \ln|g| = \int\frac{f'}{f'-f} ~ \dd x + C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = C\cdot \exp\left( \int\limits_{x_0}^x \frac{f'(t)}{f'(t)-f(t)} ~ \dd t\right) \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich in weiten Grenzen frei wählbar, nur die Nullstellen von Nenner $\begin{eqnarray*} f'(t)-f(t) \end{eqnarray*}$ machen potentiell Ärger.

25.01.2022, 14:15

Xh_12

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Also wenn ich f(x)=g(x)=e^2x wähle dann ist die Ableitung 2*e^2x
(fg)'= (2*e^2x)* e^2x + e^2x * (2*e^2x) = 2*e^4x * 2*e^4x = 4*e^4x

f' * g' = 2*e^2x * 2*e^2x = 4*e^4x

-> ist erfüllt
Kann man allerdings annehmen f=g?

25.01.2022, 14:21

Xh_12

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Für f(x)=e^(ax) und g(x)=e^(bx)

Bekomme ich für f'g' etwas anderes als für (fg)' raus :/
SORRY ich meine die Produktregel die kettenregeln ist ja für verkettet, mein Fehler.

25.01.2022, 14:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Xh_12
Kann man allerdings annehmen f=g?

Es war hier EIN Lösungspaar gesucht, nicht alle. Wenn man $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ annimmt und da was passendes findet, dann reicht das doch. Oder was bezweckst du mit der Frage?

Im übrigen hatte ich oben ja schon weit mehr Lösungen angeboten, nämlich alle $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax},g(x)=e^{bx} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a-1)(b-1)=1 \end{eqnarray*}$ . Da kann man z.B. auch $\begin{eqnarray*} a=3,b=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ wählen.

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