Vektor Tetraeder Koordinate berechnen

25.01.2022, 15:22	Pina643	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor Tetraeder Koordinate berechnen Meine Frage: Die Grundfläche eines Tetraeders hat die Eckpunkte A(0/0/9) B(60/0/9) C(30/51,96/9) Und den Schwerpunkt S(30/17,32/9) Die Spitze D erhebt sich senkrecht über den Schwerpunkt der Grundfläche. Berechne die Koordinat von D Meine Ideen: Ich hoffe, dass ich alles verständlich und nachvollziehbar aufschreiben. D muss ja senkrecht über S liegen, also unterscheidet sich nur die z-Koordinate D(30/17,32/9+h) Über den Satz des Pythagoras komme ich auf den Ansatz: h = DS (DS ist ein Vektor. Ich weiß nicht, wie ich hier Vektorpfeile schreibe) \|AD\|²= \|DS\|² + \|AS\|² h = \|AD\|²-\|AS\|²) \|AD\|² = (30- 0)² + (17,32-0)² +(9+h-9)² \|AD\|² = h² + 1199,9824 \|AS\|² = (30-0)² + (17,32-0)² Wenn ich das dann einsetzte bekomme ich ja nur h = h... Habe ich irgendeinen Denkfehler gemacht? Vielen Dank für die Hilfe :-)
25.01.2022, 21:56	tetris	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass du h=h rausbekommst, macht nur deutlich, dass du mit deinem Ansatz eine sowieso allgemein gültige Tatsache hergenommen hast. Sprich, egal für welche Höhe h, stehen gewisse Vektoren hier nun mal rechtwinklig zueinander. Zielführend wäre z.B. ein Ansatz über die Längengleichheit der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{SD} \ ~ \text{und} \ ~ \vec{AB} \end{eqnarray}$ , denn in einem Tetraeder sind ja alle Kanten gleich lang. Dadurch entsteht eine einfache Gleichung, die man nach h auflösen kann.
25.01.2022, 22:29	tetris	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur: Ich meine natürlich die Längengleichheit von $\begin{eqnarray} \vec{AD} \ ~ \text{und} \ ~ \vec{AB} \end{eqnarray}$
26.01.2022, 14:49	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor Tetraeder Koordinate berechnen Da Vektorrechnung zur Verfügung steht, wäre es ausgehend von einem gleichseitigen Tetraeder wohl tatsächlich am besten, die fehlende Koordinate in $\begin{eqnarray} \vec{D} =\begin{pmatrix} 30 \\ 17,32 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so zu bestimmen, dass der Verbindungsvektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AD} \end{eqnarray}$ den Betrag 60 annimmt. Alternative mit etwas mehr Aufwand (zur Übung und als Probe): $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ so bestimmen, dass das Dreieck ABD dieselbe Fläche wie die Grundfläche hat. Es gibt natürlich jeweils zwei Lösungen. [attach]54420[/attach]

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