Extremstellen von sin(x)^1/3

25.01.2022, 17:05	Consulting	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstellen von sin(x)^1/3 Meine Frage: Guten Abend, ich bin auf der Suche nach den Extremstellen der Funktion sin(x)^1/3 Im ersten Schritt habe ich die Funktion zweimal abgeleitet und anschließend f x)= 0 gesetzt. Im Anschluss daran habe ich x in f? x) eingesetzt und die Wendestelle (0I0) bestimmt. Jetzt müsste ich den Definitionsbereich noch angeben, wie mache ich das? Ist meine Rechnung so korrekt? LG Meine Ideen: Meine Idee habe ich oben und in meiner Lösung aufgeführt
25.01.2022, 17:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{align} f(x) = \left( \sin(x) \right)^{\frac{1}{3}}, \, x \in \mathbb{R} \end{align}$ ist die Verkettung der Funktionen $\begin{align} g(t) = t^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{t}, \, t \in \mathbb{R} \end{align}$ und $\begin{align} h(x) = \sin(x), \, x \in \mathbb{R} \end{align}$ , also $\begin{align} f = g \circ h \end{align}$ Man darf annehmen, daß $\begin{align} \sqrt[3]{t} \end{align}$ auch für $\begin{align} t<0 \end{align}$ definiert ist: $\begin{align} \sqrt[3]{t} = - \sqrt[3]{-t} \end{align}$ Da die äußere Funktion $\begin{align} g \end{align}$ streng monoton wächst, ist allein die innere Funktion $\begin{align} h \end{align}$ für Minimal- und Maximalstellen zuständig.
25.01.2022, 17:41	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinem Anhang ist zu entnehmen, dass es nicht um $\begin{eqnarray} \big( \sin(x) \big)^{\frac 13} \end{eqnarray}$ geht, sondern um $\begin{eqnarray} \sin(x^{\frac 13}) \end{eqnarray}$ . Unser Formeleditor oder einfaches Klammern hätte hier das Durcheinander und die unnötige Arbeit des Kollegen verhindern können. Die Ableitung $\begin{eqnarray} {{\cos x^{{{1}\over{3}}}}\over{3\,x^{{{2}\over{3}}}}} \end{eqnarray}$ ist noch korrekt. In der Tat kannst Du nun den Zähler nullsetzen und nach x auflösen. Hier tritt bei Dir der Fehler auf, dass Du auf beiden Seiten den Arcuscosinus anwenden musst. Aber $\begin{eqnarray} \arccos(0) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Der Rest ist entsprechend falsch. Viele Grüße Steffen
25.01.2022, 19:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Extremstellen kann man einfach durch die Positionen der Extremwerte +1 und -1 der Sinusfunktion identifizieren, d.h., $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{3}} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} x = \left((4k+1)\frac{\pi}{2}\right)^3 \end{eqnarray}$ als Maximumstellen, und $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{3}} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} x = \left((4k-1)\frac{\pi}{2}\right)^3 \end{eqnarray}$ als Minimumstellen, bei beiden Darstellungen durchläuft $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ die ganzen Zahlen. Da braucht man keine Differentialrechnung.

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