Divergenz oder Konvergenz

25.01.2022, 18:25

IntelXl

Divergenz oder Konvergenz

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x^3-1)^{\frac{1}{3}}} ~ dx \end{eqnarray*}$

Überprüfe, ob das Integral integiert, aber ohne es auszurechnen.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x^3-1)^{\frac{1}{3}}} ~ dx \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^3-1)^{\frac{1}{3}}} \geq \frac{1}{(x^3)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x} ~ dx = \lim_{p \to \infty} \int_{2}^{p} \frac{1}{x} ~ dx = \infty \end{eqnarray*}$

konvergiert nicht. Kann ich jetzt von hier aus Rückschlüsse darauf ziehen, ob mein Integral divergiert oder nicht?

25.01.2022, 19:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von IntelXl
Kann ich jetzt von hier aus Rückschlüsse darauf ziehen, ob mein Integral divergiert oder nicht?

Nach deiner exzellenten Vorarbeit sollte dir das eigentlich nicht mehr schwer fallen. Augenzwinkern

25.01.2022, 19:39

IntelXl

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Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^3-1)^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$ positiv ist und $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{b} \frac{1}{(x^3-1)^{\frac{1}{3}}} ~ dx \end{eqnarray*}$ stets wachsend ist und wegen

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{b} \frac{1}{(x^3-1)^{\frac{1}{3}}} ~ dx \geq \int_{2}^{b} \frac{1}{x} ~ dx <br /> \end{eqnarray*}$ auch beschränkt, damit muss das ganze divergent sein. verwirrt

Ist diese Argumentation zulässig? verwirrt

25.01.2022, 19:42

HAL 9000

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Ja, absolut: Da diese untere Schranke rechts für $\begin{eqnarray*} b\to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ strebt, bleibt der größeren linken Seite auch nichts weiter übrig. Das ist sozusagen das Minorantenkriterium für Integrale in Anlehnung des gleichnamigen Divergenzkriterium für Reihen.

25.01.2022, 19:43

IntelXl

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Verstehe! Danke dir vielmals. Freude

Schönen Abend noch. Wink

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