Einheitsbälle als Sechseck

25.01.2022, 21:45

HiBee123

Einheitsbälle als Sechseck

Hallo

Es gilt eine Metrik zu finden so, dass der Einheitsball ein Sechseck ist.
Gibt es so eine Metrik auch für Pentagone?

Ich find die Frage sehr spannend! Leider weiß ich nicht wie man so eine Metrik konstruieren kann... verwirrt

Tipps willkommen! smile

Grüße!

25.01.2022, 22:19

HAL 9000

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Wenn du von Einheitsball redest, meinst du doch etwas mehr als eine Metrik, nämlich eine Norm, oder? Und mit Sechseck, Fünfeck dann jeweils regelmäßige mit Zentrum im Ursprung?

Fünfeck ist dann schon mal ausgeschlossen wegen $\begin{eqnarray*} \|-x\|=\|x\| \end{eqnarray*}$ , denn es gibt kein zentralsymmetrisches Fünfeck.

26.01.2022, 17:55

HiBee123

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Ja stimmt ich meinte eine Norm.

26.01.2022, 18:06

Leopold

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Die dynamische Zeichnung im Anhang kann mit Euklid angesehen werden.

26.01.2022, 21:01

HiBee123

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superschön! Danke dafür Freude

, genau so sollte es aussehen. Aber welche Norm wurde dafür benutzt?

26.01.2022, 21:13

Leopold

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Zitat:

Original von HiBee123
Aber welche Norm wurde dafür benutzt?

Das ist doch deine Aufgabe, daraus eine saubere Definition zu erarbeiten. Stichwort: zentrische Streckung. Bilde das Einheitssechseck auf das Sechseck ab, auf dessen Rand $\begin{align*} z \end{align*}$ liegt. Was ist dann $\begin{align*} \left\| z \right\|_{\text{Hexagon}} \end{align*}$ ?

27.01.2022, 17:54

HiBee123

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Sorry dass ich so ungeduldig war.
Ich hab das irgendwo gelesen und wollte dass hier mal thematisieren, weil ich das Thema so spannend fand... leider glaube ich fehlt mir das Handwerkszeug diesen Beweis zu führen.
Also zentrische Streckung (ich habe mir den Wikipediaartikel durchgelesen, da wir das Thema noch nicht hatten... bin aber auch nicht so viel schlauer...) und was dann?
nehmts mir bitte nicht krumm, dass ich so ahnungslos bin. Ich war halt nur neugierig, wegen der Fragestellung. Weil wenn es eine Sechsecknorm gibt, gibt es bestimmt auch 10 ecknorm oder 12ecknorm, und in höherer Dimension vielleicht manche platonischen Körper als Einheitsball? oder sogar archimedische Körper? Wär doch voll cool wenns eine Fußball-norm gäbe oder vielleicht andere Körper wie den D10 ? Wär doch hammermäßig!

27.01.2022, 18:06

HAL 9000

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Eine Norm basierend auf dem regelmäßigen $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ -Eck in der Ebene ist

$\begin{eqnarray*} \|(x,y)\| := \max_{k=0,\ldots,n-1} \left| \operatorname{Im}\left(e^{i\frac{k}{n}\pi}\cdot (x+iy)\right) \right| = \max_{k=0,\ldots,n-1} \left| \sin\left(\frac{k}{n}\pi\right)x + \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)y \right| \end{eqnarray*}$ .

Ist nicht ganz die Norm von Leopold, da hier die Norm den Inkreisradius des $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ -Ecks beschreibt - bei Leopold ist es der Umkreisradius.

Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ (Quadrat) bedeutet das schlicht die Maximumnorm $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\| = \max\left\{ |x|,|y|\right\} \end{eqnarray*}$ .

27.01.2022, 18:58

HiBee123

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Mmhh...Danke, aber... Ich werd leider nicht schlau aus deiner Norm... verwirrt

wie kommst du auf den rechtesten Term? Bei mir kommt da raus:
$\begin{eqnarray*} | Im(e^{i\frac{k}{n}\pi }\cdot (x+iy)) | =<br /> | Im((cos(\frac{k}{n}\pi)+isin(\frac{k}{n}\pi))\cdot (x+iy)) |=<br /> | Im(cos(\frac{k}{n}\pi)\cdot x+cos(\frac{k}{n}\pi)\cdot iy<br /> +isin(\frac{k}{n}\pi)\cdot x +isin(\frac{k}{n}\pi)\cdot iy)) |=<br /> | cos(\frac{k}{n}\pi)\cdot x-sin(\frac{k}{n}\pi)) | \end{eqnarray*}$

27.01.2022, 19:01

HAL 9000

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Mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$ meine ich den Imaginärteil der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht zur geometrischen Erklärung dieser Norm:

$\begin{eqnarray*} \left| \sin\left(\frac{k}{n}\pi\right)x + \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)y \right|\leq R \end{eqnarray*}$ bedeutet für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} |y|\leq R \end{eqnarray*}$ und beschreibt den "Streifen" zwischen den Geraden $\begin{eqnarray*} y=-R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=R \end{eqnarray*}$ .

Für jedes weitere $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ wird dieser Streifen sukzessive um Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{n} = \frac{180^{\circ}}{n} \end{eqnarray*}$ um den Ursprung gedreht. Der Durchschnitt dieser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Streifen ist dann eine $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ -Eck-Fläche mit Inkreisradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

27.01.2022, 19:24

HiBee123

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Ach so na klar! ich Ochse. Jetzt ergibt dass Sinn (ich hatte irgendwie Real und Imaginärteil vertauscht, sorry)
okay ja... jetzt is es mir etwas klarer.(auch wenn ich selbst noch nicht so auf die Formel gekommen wäre)
Dankeschön! Tanzen

28.01.2022, 09:43

HAL 9000

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Übrigens lässt sich jede Norm im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ , wo der Einheitsball ein konvexes Polgon/Polyeder ist, welches punktsymmetrisch zum Ursprung ist, durch eine solche Norm

$\begin{eqnarray*} \|x\| = \max_{s\in S} \left| s^T x \right| \end{eqnarray*}$

beschreiben, wobei $\begin{eqnarray*} S\subset \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge von Normalenvektoren für die $\begin{eqnarray*} (d-1) \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Begrenzungsebenen des Polyeders sind. D.h., die von dir oben angedachten Normen basierend auf Einheisbällen in der Form platonischer Körper (mit Ausnahme des nicht punktsymmetrischen Tetraeders) im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ lassen sich ebenso beschreiben, mit geeignet gewählten Normalenvektormengen $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

28.01.2022, 12:28

HiBee123

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Ach cool. Aber da gibt es doch noch ne ganze Reihe mehr oder? Zum Beispiel den Kuboktaeder, oder andere Archimedische Körper. Oder auch nicht archimedische oder platonische körper wie den d10 (Also den 10 seitigen würfel)

28.01.2022, 12:51

HAL 9000

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Einfach beschreibbare Fälle sind

Würfel: $\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,0,0)^T, (0,1,0)^T, (0,0,1)^T \right\} \end{eqnarray*}$

Oktaeder: $\begin{eqnarray*} S = \left\{ \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,1,1\right)^T, \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,1,-1\right)^T, \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,-1,1\right)^T, \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,-1,-1\right)^T \right\} \end{eqnarray*}$

(das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ ist drin, weil ich nach wie vor die Normen so konstruiert habe, dass der Normwert dem Inkugelradius entspricht - bei $\begin{eqnarray*} (1,1,1)^T \end{eqnarray*}$ etc. würde das nicht mehr stimmen.)

Aber wie ich sagte: Das ganze ist nicht auf platonische Körper beschränkt, sondern sämtliche konvexen Polgone/Polyeder, welche punktsymmetrisch zum Ursprung sind, werden da erfasst.

28.01.2022, 14:11

HiBee123

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Schön.

Danke

So kann man sich das besser vorstellen.
Ich hatte den Würfel und den Oktaeder auch schon konstruiert, glaube ich. Ich hab halt den Würfel als Geschwisterkind vom Quadrat betrachtet, deshalb dachte ich mit der unendlich Norm kann man im 3Dimensionalen einen Würfel, und mit der Einsnorm im 3 Dimensionalen das Geschwisterkind der Raute, also einen Oktaeder als Einheitsball haben. Ich bin mir aber nicht sicher...

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