Lösung "einfacher" DGL

26.01.2022, 10:19	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung "einfacher" DGL Hallo, kann mir jemand einen Tipp geben wie ich folgende DGL (numerisch) Lösen kann: $\begin{eqnarray} m(t) \cdot \frac{dv}{dt} = - c_1 \cdot \frac{dm}{dt} + m(t) \cdot c_2 + c_3 \cdot v^2(t) \end{eqnarray}$ Multiplikation mit dt ergibt: $\begin{eqnarray} m(t) \cdot dv = - c_1 \cdot dm + m(t) \cdot c_2 \cdot dt + c_3 \cdot v^2(t) \cdot dt \end{eqnarray}$ Sollte ich nun alles was mit m zu tun hat auf die linke Seite bringen und alles was mit v zu tun hat auf die rechte Seite? Edit: Ok das bringt mir nichts zu trennen Danke für Eure TIpps
26.01.2022, 11:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung "einfacher" DGL Die Masefunktion m(t) und die Konstanten $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c_3 \end{eqnarray}$ , müssen explizit gegeben sein. Für die numerische Lösung stellt man die Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{dv}{dt} \end{eqnarray}$ näherungsweise als Differenzenquotionen dar gemäß $\begin{eqnarray} \tfrac{dv}{dt}\ \approx \tfrac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \end{eqnarray}$ Diese Näherung setzt man in die Differentialgleichung ein und stellt alles um nach $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t) \end{eqnarray}$ . Das ergibt $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t)=\left [-c_1 \tfrac{dm}{dt}+c_2 \cdot m(t)+c_3 \cdot v^2(t)\right ]\cdot \Delta t+v(t) \end{eqnarray}$ Setze rechts die Anfangszeit t ein, wobei die Anfangsgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} v(t) \end{eqnarray}$ gegeben sein muss. Die obige Formel liefert die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t) \end{eqnarray}$ zum nächsten Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t+\Delta t \end{eqnarray}$ , wobei der Zeitschritt $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ recht "klein" sein muss (Ausprobieren!!!). Diese Prozedur wiederholt man immer wieder, indem man die neue Zeit $\begin{eqnarray} t+\Delta t \end{eqnarray}$ sowie die eben berechnete Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t) \end{eqnarray}$ wiederum auf der rechten Seite einsetzt und so die nächste Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t+\Delta t) \end{eqnarray}$ erhält usw. Dieses Verfahren nennt man Eulerverfahren. Es ist die einfachste Herangehensweise. Es gibt auch kompliziertere Verfahren, die mit längerer Schrittweise $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ auskommen und somit weniger Schritte benötigen. Die Rechnung kann man einfach mit EXCEL machen.
26.01.2022, 20:38	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Dachte mir schon das die analytisch nicht mehr lösbar ist...ich probiere es mal

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