Scharfunktion Fläche zwischen zwei Tangenten

26.01.2022, 19:55

Jefferson1992

Scharfunktion Fläche zwischen zwei Tangenten

Hallo ihr Lieben,

ich stehe gerade mit meinem Nachhilfeschüler auf dem Schlauch und zwar geht es um folgende Aufgabe:

Gegeben ist die Scharfunktion $\begin{eqnarray*} (x-a)\times e^{2x+1} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt, den die folgenden beiden Tangenten im Intervall zwischen 0 und 4 miteinander einschließen:

- Tangente an der Stelle 3 von $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$
- Tangente an der Stelle 1 von $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:

Wir haben erstmal die Steigung mithilfe der ersten Ableitung bestimmt:

Da kommt dann bei $\begin{eqnarray*} T_{1} \end{eqnarray*}$ für die Steigung an der Stelle x=3 raus: $\begin{eqnarray*} m=3e^{7} \end{eqnarray*}$
und bei $\begin{eqnarray*} T_{2} \end{eqnarray*}$ kommen wir auf $\begin{eqnarray*} m=3e^{3} \end{eqnarray*}$

Dann setzen wir den Punkt 3 bzw. den Punkt 1 ein und erhalten als Tangentengleichung jeweils:
$\begin{eqnarray*} <br /> T_1: f_1(x)= 3e^{7}x-8e^{7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2: f_2(x)=3e^{3}x-2e^{3} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit erstmal richtig? Dann würde ich den Rest noch zeigen.

Vielen Dank!

26.01.2022, 20:13

schartangi

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Tangentengleichungen kann ich bestätigen.

Nur würde ich statt f1 bzw. f2 dort lieber y oder t1(x) bzw. t2(x) hinschreiben, denn die Namen f1 und f2 sind ja schon für die entsprechenden Scharfunktionen vergeben.

26.01.2022, 20:31

schartangi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch eine Skizze zum Sachverhalt mit Kontrollergebnissen:

28.01.2022, 15:04

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank soweit smile

Dann mach ich mal weiter und wir schauen mal, ob es stimmt: smile

Und danke für den Tipp smile

)

Also:

Wir setzen die beiden Tangentengleichungen gleich:

$\begin{eqnarray*} t_1 (x) = t_2 (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3e^7x-8e^7 = 3e^3x-2e^3 \end{eqnarray*}$

Nach umgeforme:

$\begin{eqnarray*} x \approx 2,70 \end{eqnarray*}$

Wir berechnen das Integral im Intervall 0-4:

$\begin{eqnarray*} \left | \int_{0}^{2,7} \! t_1(x)-t_2(x) \, dx\right | +\left | \int_{2,7}^{4} \! t_1(x)-t_2(x) \, dx \right | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\int_{0}^{2,7} \! 3229,642865x-8732,894194 \, dx \right|+\left|\int_{2,7}^{4} \! 3229,642865x-8732,894194 \, dx\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\left[1614,821433x^2-8732,894194x\right]_{0}^{2,7}\right|+ \left|\left[1614,821433x^2-8732,894194x\right]_{2,7}^{4}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =11806,76608 +2712,332229 = 14519,09831 FE \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

28.01.2022, 18:19

schartangi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ich stehe gerade mit meinem Nachhilfeschüler auf dem Schlauch...

Ich frage mich, was genau dich dazu bewegt hat, an eurer Herangehensweise zu zweifeln ? verwirrt

An den mitgelieferten Kontrollergebnissen kannst du ja erkennen, dass dein Lösungsweg passt.
Die Abweichungen in den Nachkommastellen kommen von den getätigten Rundungen, denn selbst bei 6 Nachkommastellen rechnet man dann ja immer weiter mit gerundeten Werten (Fehlerfortpflanzung).

Zitat:

Bestimme den Flächeninhalt, den die folgenden beiden Tangenten im Intervall zwischen 0 und 4 miteinander einschließen

Wenn das der originale Wortlaut der Aufgabenstellung ist, dann muss man die eigentliche Rechnung womöglich auch gar nicht von vorne bis hinten von Hand durchführen, da der Zusatz "rechnerisch" nicht dabei steht.

Das Ausrechnen der Schnittstelle, hätte man vielleicht durch $\begin{eqnarray*} x_s=\frac{8e^7-2e^3}{3e^7-3 e^3} \end{eqnarray*}$ exakt hinschreiben können.

Hingeschrieben hätte ich dann für das erste Integral $\begin{eqnarray*} A_1=\int_0^{x_s}~((3e^7-3e^3)x+2e^3-8e^7)~dx \end{eqnarray*}$

Statt die gewählte Stammfunktion H dann zweimal in eckige Klammern zu schreiben (ich weiß das ist eine übliche Schreibweise), kann man sie mit $\begin{eqnarray*} H(x)=0,5 \cdot (3e^7-3e^3)x^2+(2e^3-8e^7) \cdot x \end{eqnarray*}$ auch nur einmal niederschreiben und statt der eckigen Klammern dann einfach gemäß des Hauptsatzes direkt mit $\begin{eqnarray*} |H(x_s)-H(0)| = ... \end{eqnarray*}$ fortfahren.

Das macht es etwas kürzer beim Aufschreiben und gerundet wird damit dann auch erst ganz zum Schluss, wenn das entsprechende technische Hilfsmittel (WTR,GTR,CAS) den Rest der Rechnung übernimmt.

Neue Frage »

Antworten »

Scharfunktion Fläche zwischen zwei Tangenten

Verwandte Themen