Zeige , dass e^x(cos(y) + i sin(y)) = ?z^n/n! für alle z = x + iy ? ? gilt

27.01.2022, 12:42	keana	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige , dass e^x(cos(y) + i sin(y)) = ?z^n/n! für alle z = x + iy ? ? gilt Meine Frage: Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme: z.z. e^z := e^x(cos(y) + i sin(y)) = ? z^n/n! für alle z = x + iy Ich habe den Hinweis erhalten, dass man es mit der Taylorreihe von sinus, cos und der ex sowie mit dem Cauchy - Produktsatz die Gleichheit zeigen kann.Ich bin über jede Hilfe dankbar! Meine Ideen: ich habe schon die Taylorreihen zu den einzelnen Funktionen aufgeschrieben, aber weiß nicht, was ich dann weitermachen soll.
27.01.2022, 13:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Leonhard Euler hat das gemacht: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel
27.01.2022, 13:08	keana	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kann ich dann zeigen, dass es die reihe z^n/n! ist?
27.01.2022, 14:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise $\begin{eqnarray} e^z \end{eqnarray}$ suggeriert etwas, was bei euch anscheinend noch gar nicht bewiesen wurde: Potenz, Potenzgesetze... 1) Zeige daher in einem ersten Schritt, dass für die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} \exp\left(z_1\right)\cdot \exp\left(z_2\right) = \exp\left(z_1+z_2\right) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z_1,z_2\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ gilt, und zwar durch Cauchy-Produkt der beiden Potenzreihenterme links. 2) Ist das getan, dann weißt du schon mal $\begin{eqnarray} \exp\left(x+iy\right) = \exp\left(x\right)\cdot \exp\left(iy\right) \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} \exp(iy) \end{eqnarray}$ schreibst du gemäß Potenzreihenentwicklung einfach aus, und zerlegst das Ergebnis in Real- und Imaginärteil...
28.01.2022, 09:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@keana Deine Frage war: Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} e^z=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \tfrac{1}{k!} z^k \end{eqnarray}$ ist? Antwort: Historisch wurde die e-Funktion als diejenige Funktion definiert, welche identisch zu ihrer eigenen Ableitung ist. Mit anderen Worten: Die e-Funktion ist die Lösung der Differenzialgleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{df}{dz}=f(z) \end{eqnarray}$ mit dem Anfangswert $\begin{eqnarray} f(0)=1 \end{eqnarray}$ Diese Differenzialgleichung war nicht durch elementare Funktionen lösbar, weshalb man einen Potenzreihenansatz $\begin{eqnarray} f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k z^k \end{eqnarray}$ machen musste. Die unbekannten Koeffizienten $\begin{eqnarray} c_k=\tfrac{1}{k!} \end{eqnarray}$ bekam man dann durch Einsetzen des Ansatzes in die Differenzialgleichung und Koffizientenvergleich schnell heraus. Die Lösung lautete $\begin{eqnarray} f(z)=\underbrace{1+z+ \tfrac{1}{2}z^2+\tfrac{1}{3!}z^3+...}_{\text{e-Funktion }} \end{eqnarray}$ Für diese gesuchte Lösung wurde aus Gründen der Bequemlichkeit die Abkürzung $\begin{eqnarray} f(z)=e^z \end{eqnarray}$ eingeführt. Zuerst war also die Reihe da und erst danach die Bezeichnung "e-Funktion" $\begin{eqnarray} e^z \end{eqnarray}$ .
28.01.2022, 10:52	keana	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, dankschön!
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28.01.2022, 12:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst so viele Crossposting-Threads wie https://www.onlinemathe.de/forum/Zeige-d...2%88%91znn-gilt öffnen wie du willst - das Problem ist, dass du dich nicht klar äußerst: Definitionen und zu beweisende Behauptungen werden wild in ein- und derselben Zeile gemixt wiedergegeben - so geht das nicht. Für mich wäre am plausibelsten, wenn du es so meinst: Ausgehend von den per Potenzreihen für alle komplexen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ definierten Funktionen $\begin{eqnarray} \exp\left(z\right) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin\left(z\right) := \sum_{n=0}^{\infty} \left(-1\right)^n\frac{z^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos\left(z\right) := \sum_{n=0}^{\infty} \left(-1\right)^n\frac{z^{2n}}{\left(2n\right)!} \end{eqnarray}$ zeige man für alle $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ die Identität $\begin{eqnarray} \exp\left(x+iy\right) = \exp\left(x\right)\cdot \left( \cos\left(y\right) + i\sin\left(y\right)\right) \end{eqnarray}$ .

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