Faktorordnung und Hasse-Diagramm

27.01.2022, 14:02	katze14	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorordnung und Hasse-Diagramm Meine Frage: Liebe Mathe-cracks, ich sitze hier an meiner Hausaufgabe seit geraumer Zeit und kratze mir den Kopf. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Es gibt die Menge A :={1,2,3,4,5,6} und R:={(1,1), (1,4), (2,2), (2,5), (3,3), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,4), (4,1), (5,5), (5,2), (6,6)} Man soll zunächst die Elemente der Faktormenge A/~ für die Äquivalenzrelation ~:={(a,b)? A^2 \| (a,b) ? R, (b,a) ? R} bestimmen. Dann soll man die zu R gehörige Faktorordnung ? auf der Menge A/~ als Menge von Paaren angeben und ein dazugehöriges Hassediagramm angeben. Meine Ideen: Irgendwie drehe ich mich im Kreis, weil ich glaub ich nicht mal die Notation verstanden habe. Bei dem ersten Teil verstehe ich es so, dass man in der Faktormenge die Elemente hat, die genau diese Voraussetzung (a,b) ? R, (b,a) ? R erfüllen. Da man wegen der Äquivalenzrelation davon ausgehen kann, das a = b sein darf, erfüllen alle Elemente aus A diese Voraussetzung, denn (1,1) kann (a,b) und (b,a) sein usw. Also wäre hier meine Faktormenge A/~= {1,2,3,4,5,6}, also im Grunde die gleiche wie A? Die zu R gehörige Faktorordnung auf dieser Menge A/~, als Menge von Paaren, ist nun gesucht. Und hier werde ich eigentlich noch verwirrter. So wie ich das verstehe, wäre meine Menge dann {(1,1)-(6,6),(1,4),(4,1),(2,5),(5,2)}. Das HasseDiagramm lebt ja von seinen Verbindungen, nur zeigen 1 - 6 ja auf sich selbst und nur (1,4),(4,1) und (2,5),(5,2) sind verbunden. Wie man daraus ein Diagramm zaubert, erschließt sich mir noch nicht. Im Grunde möchte ich wissen, ob mein Ansatz funktioniert bzw wo meine Denkfehler liegen! Ich schätze jede Hilfe sehr!
27.01.2022, 14:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorordnung und Hasse-Diagramm Die Faktormenge ist die Menge der Äquivalenzklassen. Wie sieht die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray} 1\in A \end{eqnarray}$ aus? Das sind alle $\begin{eqnarray} b\in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (1,b)\in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b,1)\in R \end{eqnarray}$ . Das gilt für $\begin{eqnarray} b\in\{1,4\} \end{eqnarray}$ und damit hast du diese Äquivalenzklasse. Wie sehen die anderen aus?
27.01.2022, 21:44	katze_14	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorordnung und Hasse-Diagramm also 1/~ = {(1,4),(4,1} 2/~ = {(2,5),(5,2)} 3/~ = {(3,3)} 4/~ = 1/~ 5/~ = 2/~ 6/~ = {(6,6)} damit wäre mein A/~= {1,2,3,6} da 1=4 und 2=5 ist Dann soll man die zu R gehörige Faktorordnung <= auf A/~ angeben. Das heißt man wendet jetzt die in R definierte "Sortierung" auf diese neu erworbene Menge A/~ an? Nun frage ich mich aber einfach, wie man die Faktorordnung "liest". Das kleiner gleich sortiert dann diese Elemente paarweise ? Nur nach der Größe der Mächtigkeit der einzelnen Elemente? Ich verstehe nicht, wie das auf A/~ anwendbar ist. Vielen Dank für die Antwort!!
27.01.2022, 22:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorordnung und Hasse-Diagramm $\begin{eqnarray} 1/\sim = \{(1,4),(4,1)\} \end{eqnarray}$ kann nicht richtig sein, weil die Äquivalenzklasse von 1 eine Teilmenge von A sein muss. Auf der rechten Seite steht eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ . Ich schrieb doch schon, dass die Äquivalenzklasse von 1 die Menge $\begin{eqnarray} \{1,4\} \end{eqnarray}$ ist. Die Äquivalenzklasse von 3 ist die Menge $\begin{eqnarray} \{3\} \end{eqnarray}$ . Ensprechend ist die Faktormenge $\begin{eqnarray} \{\{1,4\},\{3\},.....\} \end{eqnarray}$ . Die fehlenden Elemente darfst du dir noch überlegen A/~= {1,2,3,6} ist richtig, wenn du auf der rechten Seite die Äquivalenzklassen meinst, d.h. z.B. 1 mit 1/~ identifizierst. Den Begriff der Faktorordnung kenne ich nicht. Wenn ich mich nicht vertan habe, ist R eine Quasiordnung auf A. Darin könnte man jetzt die Elemente von A durch ihre Äquivalenzklassen ersetzen und das gibt vermutlich eine Ordnungsrelation auf A/~ Aber das ist alles Vermutung. Vielleicht kennt jemand den Begriff.

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