Allgemeine Volumenformel des Kegels

27.01.2022, 15:17	iuskord	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Volumenformel des Kegels Meine Frage: Hallo, wir sollen die allgemeine Volumenformel des Kegels (V=1/3 x pi x r^2 x h) herleiten. Meine Ideen: Meine eigene Idee ist V= Pi Integral a bis b (f(x))^2 dx
27.01.2022, 16:27	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Schonmal ein guter Ansatz. Als nächstes solltest Du Dir (am besten an einer Skizze) überlegen, was für ein Körper hier um die x-Achse rotieren soll, damit ein Kegel entsteht. Daraus ergibt sich dein f, sowie die Werte für a und b.
27.01.2022, 18:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist kein Körper, welcher rotiert, sondern ein Dreieck bzw die Gerade f(x) = ax + b. Der Körper entsteht erst bei der Rotation. mY+
27.01.2022, 23:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenbei bemerkt: Die Kegelformel gilt nicht nur für Rotationskegel. Man kann sich eine beliebige ebene Grundfläche mit Inhalt $\begin{align} G>0 \end{align}$ denken und einen Punkt $\begin{align} Z \end{align}$ außerhalb der Ebene der Grundfläche, der von dieser Ebene den Abstand $\begin{align} h>0 \end{align}$ besitzt. Nun wird die Grundfläche von $\begin{align} Z \end{align}$ aus mit Faktoren $\begin{align} \lambda \in [0,1] \end{align}$ gestreckt. Der dabei durchfahrene Raum bildet einen Kegel. In der Höhe $\begin{align} x \in [0,h] \end{align}$ , von $\begin{align} Z \end{align}$ aus gemessen, ist der Streckfaktor $\begin{align} \lambda = \frac{x}{h} \end{align}$ , so daß die Fläche in dieser Höhe den Inhalt $\begin{align} A(x) = \lambda^2 G = \frac{G}{h^2} \cdot x^2 \end{align}$ [attach]54425[/attach] besitzt. (Man verwendet hierbei, daß bei Streckungen mit dem Faktor $\begin{align} \lambda \end{align}$ Flächeninhalte den Faktor $\begin{align} \lambda^2 \end{align}$ aufnehmen.) Integration führt zum Volumen $\begin{align} V \end{align}$ des Kegels: $\begin{align} V = \int_0^h \frac{G}{h^2} \cdot x^2 ~ \dd x = \frac{G}{h^2} \int_0^h x^2 ~ \dd x = \frac{G}{h^2} \cdot \frac{1}{3} h^3 = \frac{1}{3} Gh \end{align}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »