[Klassenkörpertheorie] p = a^2 + 5b^2

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
[Klassenkörpertheorie] p = a^2 + 5b^2
Hallo zusammen,

ich möchte herausfinden, welche Primzahlen sich darstellen lassen als .
Bisher habe ich zumindest eine notwendige Bedingung, denn wenn ich diese Gleichung mal modulo 5 betrachte, erhalte ich . Und dies ist nur lösbar für . Aber das genügt ja nun noch nicht.

Also dachte ich, ich könnte ja die Norm betrachten. Diese ist für .
Hm, aber nun bräuchte ich einen Schubs in die richtige Richtung verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ichwarneu
Und dies ist nur lösbar für .(

Wieso? Es gibt doch auch Primzahlen wie z.B. . verwirrt

Oder hast du dich verschrieben und meinst stattdessen ? Dann käme es hin (zumindest für ) als NOTWENDIGE Bedingung.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht, HAL. Es muss heissen.
Danke für den Hinweis!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In einem alten Zahltheorie-Buch habe ich eine Aussage zu Primzahlen gefunden: Zu gibt es stets passende . (Dass es zu keine gibt, folgt leicht modulo 3.)

Eine ähnlich leichte Charakterisierung wäre vermutlich dein Wunsch auch für . Scheint da aber doch komplizierter zu sein.

In dem Buch stand sonst nur noch, dass es im Fall von zu gegebener Primzahl höchstens eine positive Lösung von geben kann. Da musst du wohl auf die "echten" Algebraiker hier im Forum warten.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

In welchem Buch war denn das, HAL?
Auch wenn es nicht genau das ist was ich suche, kann recherchieren und nachvollziehen ja nie schaden Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ekkehard Krätzel, Zahlentheorie, 1981, ISBN 3-8171-1287-4

Das zugehörige Kapitel "Gitterpunkte auf Ellipsen" geht aber nicht sonderlich in die Tiefe - versprich dir nicht zuviel davon.
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Vll interessiert dich auch dieses paper:

https://arxiv.org/pdf/math/0606547.pdf
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch beiden vielmals für eure Zeit! smile
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