Quersumme Anzahl

28.01.2022, 11:52	Uta2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Quersumme Anzahl Meine Frage: Wie viele durch 9 teilbare, dreistellige Zahlen a haben die Eigenschaft, das a+9 die doppelte Quersumme von a besitzt? Meine Ideen: Kann man das irgendwie ohne probieren lösen?
28.01.2022, 12:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal hat eine durch 9 teilbare Zahl $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ selbst wieder eine durch 9 teilbare Quersumme $\begin{eqnarray} Q(a) \end{eqnarray}$ d.h., es ist $\begin{eqnarray} Q(a)\in \{9,18,27\} \end{eqnarray}$ . Das gilt aber auch für $\begin{eqnarray} a+9 \end{eqnarray}$ : Nun könnte zwar theoretisch $\begin{eqnarray} a+9 \end{eqnarray}$ auch knapp vierstellig sein, aber allenfalls mit einer 1 vorn, also $\begin{eqnarray} Q(a+9)\leq 28 \end{eqnarray}$ . Der Teilbarkeit durch 9 wegen bleibt aber auch hier nur $\begin{eqnarray} Q(a+9)\in \{9,18,27\} \end{eqnarray}$ . Die Bedingung $\begin{eqnarray} Q(a+9)=2Q(a) \end{eqnarray}$ ergibt dann notwendig $\begin{eqnarray} Q(a)=9,Q(a+9)=18 \end{eqnarray}$ . 1.Fall: Endziffer von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist 0. Dann klappt das ganze für alle solche dreistelligen Zahlen mit $\begin{eqnarray} Q(a)=9 \end{eqnarray}$ , das sind 180, 270, 360, 450, 540, 630, 720, 810, 900. 2.Fall: Endziffer von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist nicht 0. Hier klappt es nie - warum?
28.01.2022, 12:34	Uta2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier können sich Zehner bzw. Hunderterstelle beim Übergang von a auf a+9 jeweils um höchstens 1 erhöhen. Die Einerstelle wird ja sogar um 1 kleiner. Damit kann die Quersumme sich nicht verdoppeln weil sie um mindestens 9 größer werden müsste. Oder?
28.01.2022, 12:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ungefähr. Tatsächlich erhöht sich nur die Zehnerstelle, denn die kann bei Gesamt-Quersumme 9 und einer wirklich dreistelligen Zahl höchstens gleich 8 sein. D.h., für wirklich alle dreistelligen Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit Quersumme $\begin{eqnarray} Q(a)=9 \end{eqnarray}$ sowie keiner Null als Endziffer gilt $\begin{eqnarray} Q(a+9)=9 \end{eqnarray}$ .

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