Stetige Funktionen unendlich oft integrierbar?

28.01.2022, 19:05	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktionen unendlich oft integrierbar? Hey Leute Ich stelle mal eine Behauptung auf, von ich überzeugt bin, dass sie falsch ist: Eine stetige Funktion ist unendlich oft integrierbar. Ich denke, dass die Aussage falsch ist, weil es 1-mal-integrierbare Funktionen gibt, deren Fourierreihen überall divergieren, jedoch alle $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -mal-integrierbaren Funktionen (mit $\begin{eqnarray} p>1 \end{eqnarray}$ ) in fast allen Punkten Grenzwert ihrer Fourierreihen sind (Satz von Carleson und Hunt). Dennoch erkenne ich nicht den Fehler in diesem "Beweis": Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion, dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ intrgrierbar mit Stammfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine stetige Ableitung besitzt ist $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar und damit ebenfalls stetig. Per Induktion folgt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ unendlich oft integrierbar ist, da jede weitere Stammfunktion wieder stetig ist. Könnt ihr mir weiterhelfen, wo mein Denkfehler ist?
28.01.2022, 19:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage wäre was meint man mit integrierbar? Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf einer kompakten Menge definiert, stimmt die Aussage. Wenn man mit integrierbar nur meint, es existiert eine Stammfunktion, stimmt es auch. Wenn man jetzt mit uneigentlichen Integralen arbeitet und man mit integrierbar einen endlichen Flächeninhalt meint, so muss eine stetige Funktion nicht einmal "einmal" integrierbar sein, s. die konstante Funktion $\begin{eqnarray} f \colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 1 \end{eqnarray}$ . Was ich auch noch nicht verstehe, welche Verbindung siehst du zwischen FourierREIHEN und Integralen? Edit: Nachtrag: Jede stetige Funktion ist unendlich oft lokal-integrierbar im Sinne: $\begin{eqnarray} C^0(K) \subset L^p(K) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} p \geq 0 \end{eqnarray}$ .
28.01.2022, 19:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Verbindung zu den Fourierreihen verstehe ich auch nicht. Übrigens braucht man für so eine "n-fach integrierte" Funktion keine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ineinander geschachtelten Integrale, es genügt eine einzige Integrationsebene: $\begin{eqnarray} f_n(x) = \int\limits_{x_0}^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot f(t) ~ \dd t + p(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ mit irgendeinem $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ sowie einem beliebigem Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ höchstens $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ -ten Grades...
28.01.2022, 20:03	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Cauchy-Formel für mehrfache Integration kenne ich noch von meiner Bachelorarbeit. Damals brauchte ich die Verallgemeinerung $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Aber zurück zum Thema: Auf die Frage hier bin ich gekommen, weil ich mich grad wieder mit Fourierreihen beschäftige. Ich bin noch immer auf der Suche nach der einmal-integrierbaren-Funktion, deren Fourierreihe (fast) überall divergiert, welche von Kolmogorov 1923 gefunden wurde. Während meiner Suche bin ich auf den Satz von Carleson und Hunt gestoßen und ich bin über die Frage gestolpert, die ich hier gepostet habe. Es kann sein, dass mein Gedankenfehler war, dass ich Stetigkeit mit Integrierbarkeit gleichgesetzt habe... Zumindest kann ich daraus aber für mich mitnehmen, dass eine stetige Funktion tatsächlich unendlich oft (lokal-)integrierbar ist und der Satz von Carleson und Hunt darauf anwendbar ist. Vielen Dank euch beiden
28.01.2022, 20:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Punkt von Carleson und Hunt wird sein, dass wenn die Funktion schnell genug konvergiert, dann werden die Fourierkoeffizienten eine hinreichend schnelle Nullfolge bilden, so dass die Fourierreihe "schön" konvergiert. Jetzt Rückschlüsse von der "nicht-schönen" Konvergenz einer Fourierreihe auf das Integral einer Funktion zu schließen, finde ich gewagt. Edit: Wenn du auf englisch suchst, findest du jede Menge Beispiel Beispiel 1 oder Beispiel 2 auf MathExchange.

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