Verkettung bei der Transformationsformel

29.01.2022, 13:51	Buchsbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung bei der Transformationsformel Meine Frage: Hallo, wir wollen ein Integral über die Transformationsformel berechnen (vgl. Angang) Nur sind wir etwas verwirrt bei der Verkettung. Aufgabe, Satz und unsere 2 bisherigen Lösungen sind unten zu finden: Ich sage schon einmal vielen Dank! Meine Ideen: vgl Bild
29.01.2022, 18:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie verkehrt herum. Du mußt $\begin{align} x \end{align}$ und $\begin{align} y \end{align}$ in Abhängigkeit von $\begin{align} u,v \end{align}$ ausdrücken und nicht $\begin{align} u \end{align}$ und $\begin{align} v \end{align}$ in Abhängigkeit von $\begin{align} x,y \end{align}$ . Nimm die Gleichungen $\begin{align} u=xy \end{align}$ und $\begin{align} v=\frac{y}{x} \end{align}$ miteinander mal beziehungsweise dividiere sie durcheinander und löse nach $\begin{align} x,y \end{align}$ auf: $\begin{align} (x,y) = \Psi(u,v) = \left( \lambda(u,v) \, , \, \mu(u,v) \right) \end{align}$ Dann ist $\begin{align} \int_B y ~ \dd (x,y) \ = \ \int \limits_1^2 \int \limits_1^2 \mu(u,v) \cdot \left\| \det J_{\Psi}(u,v) \right\| ~ \dd u ~ \dd v \end{align}$ Ich habe als Ergebnis $\begin{align} \frac{2}{3} \left( 5 - 3 \sqrt{2} \right) \approx 0{,}5049 \end{align}$ .
30.01.2022, 10:38	justlikemanuel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankesehr Hallo Leopold, vielen Dank für Deine Hinweise! Sie haben sowohl für die Aufgabe, als auch für das allgemeine Verständnis sehr geholfen. Am Ende ist wie immer alles ganz einfach ;-) Danke auch im Namen meiner Kommilitonen. Schönes Wochenende!
30.01.2022, 13:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Spur angenehmer wird es mit der folgenden Substitution: $\begin{align} x = \frac{u}{v} \, , \ \ y = uv \ \ \text{mit} \ u,v>0 \end{align}$ Aus $\begin{align} 1 \leq xy \leq 2 \end{align}$ wird dann $\begin{align} 1 \leq u \leq \sqrt{2} \end{align}$ , und aus $\begin{align} 1 \leq \frac{y}{x} \leq 2 \end{align}$ wird $\begin{align} 1 \leq v \leq \sqrt{2} \end{align}$ . Die Funktionaldeterminante der Substitution ist $\begin{align} \begin{vmatrix} \ v^{-1} & \ -uv^{-2} \\ v & u \end{vmatrix} = 2uv^{-1} \end{align}$ Die Umrechnung des Integranden in neue Koordinaten ergibt $\begin{align} y ~ \dd(x,y) = uv \cdot 2uv^{-1} ~ \dd(u,v) = 2u^2 ~ \dd(u,v) \end{align}$ Der Integralwert: $\begin{align} I = \int_B y ~ \dd(x,y) \ = \ \int \limits_1^{\sqrt{2}} \int \limits_1^{\sqrt{2}} 2u^2 ~ \dd u ~ \dd v \ = \ \left( 2^{\frac{1}{2}} - 1 \right) \cdot \int \limits_1^{\sqrt{2}} 2u^2 ~ \dd u \end{align}$ $\begin{align} = \ \left( 2^{\frac{1}{2}} - 1 \right) \cdot \frac{2}{3} \left( 2^{\frac{3}{2}} - 1 \right) = \frac{2}{3} \left( 5 - 3 \sqrt{2} \right) \end{align}$

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