Lebesgue-Räume

31.01.2022, 06:27

frieder

Lebesgue-Räume

Hallo!

Ich möchte gerne die Räume $\begin{eqnarray*} L^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L^\infty(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ besser verstehen.

(1) Beginnen wir mit $\begin{eqnarray*} L^\infty(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Das ist der Raum der messbaren und wesentlich beschränkten Funktionen. Insbesondere heißt das, dass es eine Zahl $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |f| \leq C \end{eqnarray*}$ fast überall gilt. Nimmt man das Infimum aller möglichen $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ erhält man die $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ -Norm. Nun frage ich mich, welche Funktion in diesem Raum liegt, die nicht integrierbar ist (also nicht in $\begin{eqnarray*} L^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ist. Wäre eine konstante Funktion so ein Beispiel? Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} f=C=||f||_{L^\infty(\mathbb{R})} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} |f| = \infty \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so?

(2) Nun frage ich mich, welche Funktion in $\begin{eqnarray*} L^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ liegt, aber nicht wesentlich beschränkt ist. Da stehe ich auf dem Schlauch und würde mich sehr über ein Beispiel freuen.

Vielen Dank!
Frieder

31.01.2022, 09:09

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

(1) Stimmt, vorausgesetzt $\begin{eqnarray*} C \neq 0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

(2) Die Standardbeispiele dafür sind $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac 1 {x^\alpha} & \text{falls } x \in (0,1)\\ 0 & \text{sonst.} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ passend sind, kriegst du sicher selbst raus smile

31.01.2022, 16:16

laila49

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Dualraum von $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ scheint ja ein ganz furchtbares Objekt zu sein.
In allen Büchern der Funktionalanalysis, die ich kenne, ist er ausgespart.
Weiß jemand, wo man zu diesem Ungetüm etwas finden kann?

31.01.2022, 16:24

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Daulraum sind spezielle Maße:
https://math.stackexchange.com/questions...fty-and-l-infty

Liegt daran, dass der Raum i.d.R. nicht separabel ist und der Dualraum deswegen bedeutend größer als "nur" $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist.

31.01.2022, 17:08

laila49

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Der Daulraum sind spezielle Maße:
https://math.stackexchange.com/questions...fty-and-l-infty

Liegt daran, dass der Raum i.d.R. nicht separabel ist und der Dualraum deswegen bedeutend größer als "nur" $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist.

danke

da reichen meine Grundkenntnisse wohl nicht aus, muss ich erst wieder erarbeiten

Neue Frage »

Antworten »

Lebesgue-Räume

Verwandte Themen