Aufteilung von 8 Hunden auf 3 Kinder

31.01.2022, 11:15

Schüler310122

Aufteilung von 8 Hunden auf 3 Kinder

Wie viele Möglichkeiten hat eine Mutter ihre 8 Hunde an ihre 3 Kinder zu verschenken, wenn jedes Kind mindestens einen Hund erhalten muss?

Ich würde sagen 3 Hunde aus 8 werden auf die 3 Kinder Verteilt, dann gibt es pro verbliebenem Hund noch für jedes Kind 3 Möglichkeiten. In etwa:

$\begin{eqnarray*} \binom{8}{3} 3^5 = 13608 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig, oder habe ich einen Denkfehler?

31.01.2022, 12:00

G310122

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RE: Aufteilung von 8 Hunden auf 3 Kinder
Ein Kind kann bis zu 6 Hunde erhalten:

Anzahl der Hunde der Reihe nach: a, b,c seien die Kinder

a b c
1 1 6

1 2 5

1 3 4

2 2 4

2 3 3

Dabei jeweils die Reihenfolge zu berücksichtigen.

31.01.2022, 12:16

Schüler310122

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RE: Aufteilung von 8 Hunden auf 3 Kinder
Hey,

aus der Antwort schließe ich, dass es hierfür keine Formel gibt, sondern man dies eher über die Art lösen müsste, wie du es gemacht hast, oder?

31.01.2022, 12:34

HAL 9000

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Zunächst mal wäre zu klären, ob die 8 Hunde als unterscheidbar angesehen werden sollen oder nicht. (Bei den Kindern setze ich Unterscheidbarkeit mal voraus...)

A) Hunde sind unterscheidbar:

Dann berechnet sich die Anzahl per Siebformel gemäß $\begin{eqnarray*} 3^8 - 3\cdot 2^8 + 3\cdot 1^8 = 5796 \end{eqnarray*}$ (Erklärung später, falls erwünscht).

B) Hunde nicht unterscheidbar:

Dann bekommt jedes Kind schon mal einen Hund. Die restlichen 5 Hunde werden frei verteilt gemäß "5maliges Ziehen aus einer Dreiermenge (die drei Kinder) mit Wiederholung und ohne Reihenfolge". Das ergibt Anzahl $\begin{eqnarray*} \binom{3+5-1}{5} = \binom{7}{5} = \binom{7}{2} = 21 \end{eqnarray*}$ .

31.01.2022, 14:52

Schüler310122

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Hallo,

mich würde noch sehr die Idee hinter deiner Rechnung $\begin{eqnarray*} 3^8 - 3\cdot 2^8 + 3\cdot 1^8 = 5796 \end{eqnarray*}$ interessieren. Also $\begin{eqnarray*} 3^8 \end{eqnarray*}$ sind die Möglichkeiten 8 Hunde auf drei Kinder zu verteilen... Und $\begin{eqnarray*} 3\cdot 2^8 \end{eqnarray*}$ sind dann die Möglichkeiten 8 Hunde auf 2 Kinder zu Verteilen, weobei mit 3 multipliziert, da dieser Fall für jedes Kind gelten kann?

31.01.2022, 15:24

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ... Gesamtmenge aller Verteilungsmöglichkeiten der 8 unterscheidbaren Hunde an 3 Kinder
$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... Menge der Verteilungsmöglichkeiten aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , wo Kind $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ leer ausgeht

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} N= \left|\Omega\setminus\left(A_1\cup A_2\cup A_3\right)\right| \end{eqnarray*}$ , dann ist gemäß Siebformel sowie aus Symmetriegründen

$\begin{eqnarray*} N &=& \left|\Omega\right| - \left|A_1\right| - \left|A_2\right| - \left|A_3\right| + \left|A_1\cap A_2\right| + \left|A_1\cap A_3\right| + \left|A_2\cap A_3\right| - \left|A_1\cap A_2\cap A_3\right|\\ &=& \left|\Omega\right| - \binom{3}{1}\left|A_1\right| + \binom{3}{2}\left|A_1\cap A_2\right| = 3^8 - 3\cdot 2^8 + 3\cdot 1^8 \end{eqnarray*}$

(Dass alle drei zugleich leer ausgehen, kann nicht passieren, denn irgendwo müssen die 8 Hunde ja bleiben. Daher ist hier $\begin{eqnarray*} A_1\cap A_2\cap A_3 = \{\} \end{eqnarray*}$ . )

31.01.2022, 18:53

klauss

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RE: Aufteilung von 8 Hunden auf 3 Kinder

Zitat:

Original von Schüler310122
Ich würde sagen 3 Hunde aus 8 werden auf die 3 Kinder Verteilt, dann gibt es pro verbliebenem Hund noch für jedes Kind 3 Möglichkeiten.

Ergänzend sei bemerkt, dass der erste Ansatz zunächst verlockend ist. Man greift 3 Hunde heraus, von denen man jedem Kind 1 gibt (wobei man diese 3 Hunde noch permutieren müßte).
Die restlichen 5 Hunde verteilt man im Sinne einer Urnenziehung.
Das ergibt aber ein zu hohes Ergebnis, da doppelte Zuordnungen vorkommen.

Z. B. (mit numerierten Hunden):

1 2 3 (-> Vorauswahl)
4 5 6
7 8

7 2 3 (-> Vorauswahl)
4 5 6
1 8

Trotz disjunkter* Vorauswahlen bekommen die Kinder hier letztlich dieselben Hunde.

*Edit:
Disjunkt ist hier wohl nicht ganz korrekt. Gemeint ist freilich die unterschiedliche Vorauswahl.

31.01.2022, 19:02

Mathema

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Das geht auch gemäß $\begin{eqnarray*} T(m,n):=\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_n\ge1\\m_1+\ldots+m_n=m}}\binom{m}{m_1,\ldots,m_n} \end{eqnarray*}$ . Damit:

$\begin{eqnarray*} T(8,3)=3\binom{8}{1,1,6}+3!\binom{8}{2,1,5}+3\binom{8}{2,2,4}+3\binom{8}{2,3,3}+3!\binom{8}{3,4,1}=5796 \end{eqnarray*}$

01.02.2022, 08:36

HAL 9000

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Anmerkung: Die allgemeine Anzahl bei ununterscheidbaren Hunden ist dann gleich der Summandenanzahl von $\begin{eqnarray*} T(m,n) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{\substack{m_1,\ldots,m_n\ge1\\m_1+\ldots+m_n=m}} 1 = \binom{m-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ .

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