Verteilfunktion

31.01.2022, 12:49

Monty_21

Verteilfunktion

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich verstehe nicht wie man auf die Verteilfunktion von X kommt bei der Dichtefunktion f(x)= k * x für 5<(gleich) x <(gleich)9 mit k>0 und f(x)=0?

Hat jemand für eine Erklärung?

Meine Ideen:
Für K komme ich auf 1/28

31.01.2022, 12:53

verteiler

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Zitat:

Für K komme ich auf 1/28

Das stimmt doch. Wie bist du drauf gekommen ?

31.01.2022, 13:00

Monty_211

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ja aber in der Funktion f(x) ist die Dichtefunktion gemeint und ich bräuchte daraus die Verteilfunktion F(x). Ich verstehe nicht wie man darauf kommt.

Willkommen im Matheboard!
Du bist nun zweimal angemeldet, Monty_21 wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

31.01.2022, 13:08

HAL 9000

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Die Verteilungsfunktion ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist dein $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ abschnittsweise gegeben, für $\begin{eqnarray*} t\leq 5 \end{eqnarray*}$ ist es etwa gleich Null. Damit passiert auch für $\begin{eqnarray*} x\leq 5 \end{eqnarray*}$ nichts, d.h., dort ist $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} 5\leq x\leq 9 \end{eqnarray*}$ haben wir dann aber $\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_5^x \frac{t}{28} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ , na rechne das mal aus!

Zum letzten Fall $\begin{eqnarray*} x>9 \end{eqnarray*}$ kommen wir dann später.

31.01.2022, 13:12

verteiler

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Für eine stetige Zufallsvariable X gilt bei einer gegebenen Dichtefunktion f(x) für die Verteilungsfunktion F :

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{- \infty}^x~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Der Graph zu F beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse, und zwar je nach Intervall ausgehend von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis zur aktuellen Integralgrenze x.

Zu betrachten sind nun Stammfunktionen in den Intervallen $\begin{eqnarray*} x<5 \ ~ \text{und} \ ~ 5 \leq x \leq 9 \ ~ \text{und} \ ~ x>9 \end{eqnarray*}$
Diese bilden dann die so genannte Verteilungsfunktion.

Jetzt steht hier zwar schon einiges mehr im Thread, aber ich schicke es trotzdem ab.

31.01.2022, 13:15

Monty_211

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ok bei uns in der Vorlesung haben wir gelernt, dass aus dem Integral dann die hinzukommende Konstante ermittelt werden muss. Um diese zu ermitteln setzt man einen der beiden Grenzwerte aus dem Integral ein.

Somit wäre = F(x) = Integral 1/28 x^2 + 31;

Stimmt das? Falls nicht wie geht es dann richtig? Ich weis echt nicht mehr weiter

31.01.2022, 13:28

HAL 9000

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Von welcher "hinzukommenden Konstante" redest du? Hier geht es um bestimmte Integrale, da gibt es sowas nicht!!! Ein letztes mal (hoffentlich hörst du diesmal zu, sonst gebe ich es auf): Für $\begin{eqnarray*} 5\leq x\leq 9 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_5^x \frac{t}{28} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Hier ein paar Gedanken, wie man allgemein bei einer intervallweise gegebenen Dichte zu der dann ebenfalls intervallweise anzugebenden Verteilungsfunktion kommt:

Verteilungsfunktion aus der Dichtefunktion

31.01.2022, 14:05

Monty_211

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Ok Danke, dann ist aber die Lösung von meinem Prof falsch, deshalb bin ich durcheinander gekommen. Interessehalber: Wie würde daraus dann der Median aussehen?

Wo setze ich in dem neuen F(x) dann die 0,5 ein?

31.01.2022, 14:34

HAL 9000

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Am besten rechnest du erstmal dieses $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ aus: Über gelegte Eier spricht sich besser als über ungelegte.

Überhaupt sind diese Ablenkungen durch das Eröffnen neuer Baustellen (jetzt plötzlich der Median) mitten in der Rechnung kontraproduktiv: Führe erstmal die eine Rechnung zuende!

31.01.2022, 14:55

Monty_211

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Könntest du mir nicht erklären wie ich auf das Ergebnis zur Verteilfunktion komme?
Wie in der Eingangsfrage beschrieben verstehe ich nicht wie ich auf die Verteilungsfunktion F(x) komme.
Nach der Musterlösung von meinem Prof habe ich für F(x)=1/56 x^2 und als Median 0,00446.

31.01.2022, 15:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Monty_211
Wie in der Eingangsfrage beschrieben verstehe ich nicht wie ich auf die Verteilungsfunktion F(x) komme.

Lesen der Antworten im Thread hätte diese Wissenslücke schließen können. Keine Ahnung, warum du das nicht tust. unglücklich

Zitat:

Original von Monty_211
Könntest du mir nicht erklären wie ich auf das Ergebnis zur Verteilfunktion komme?

Zu faul ein bestimmtes Integral zu berechnen? Zum dritten Mal, diesmal mit Rechnung:

Für $\begin{eqnarray*} 5\leq x\leq 9 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_5^x \frac{t}{28} ~ \dd t = \left[ \frac{t^2}{56}\right]_{t=5}^x = \frac{x^2-25}{56} \end{eqnarray*}$ .

Ist das denn wirklich so schwer? unglücklich

Zitat:

Original von Monty_211
und als Median 0,00446.

Schlimmerer Unfug ist kaum vorstellbar: Wenn die Verteilung auf das Intervall [5;9] konzentriert ist wie hier, dann muss auch der Median in diesem Intervall liegen, statt komplett sinnfrei knapp über 0. Finger1

Der Median ist diejenige Zahl $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F\left(\tilde{x}\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ - zumindest dann, wenn eine stetige Zufallsgröße vorliegt. Im vorliegenden Fall bedeutet dies

$\begin{eqnarray*} \frac{\tilde{x}^2-25}{56} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{x}^2 = 53 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{x} = \sqrt{53}\approx 7.28 \end{eqnarray*}$ .

31.01.2022, 15:22

Monty_211

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Ja für jemand der kein Profi darin ist schon. Wäre es für mich auch so leicht, würde ich nicht fragen müssen smile

In folge dessen ist die Lösung von meinem Prof ja dann völliger Quatsch. Aber wie errechne ich mir daraus den Median? Ich dachte für x braucht man da immer irgendwas mit 0,5??

31.01.2022, 15:28

HAL 9000

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Das hat nichts mit Profi zu tun sondern mit der Bereitschaft zum Zuhören. Und das Ausrechnen bestimmter Integrale, wo der Integrand eine einfache lineare Funktion ist, hat auch nichts mit Profi zu tun: Das ist Schulwissen.

Es ist irgendwie sinnlos, dass du hier Anfragen stellst, dann aber vor den Antworten die Ohren verschließt. Zum Median habe ich gerade was geschrieben, was du vermutlich noch nicht mitgekriegt hast.

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