Ellipse (Polarkoordinaten)

31.01.2022, 22:26

lh2

Ellipse (Polarkoordinaten)

Meine Frage:
Hallo

Bekannt sind die folgenden Formel für eine Ellipse

$\begin{eqnarray*} r=\frac{k_{1} }{1+c\cdot \cos(\varphi ) } \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} r=\frac{k_{1}}{1+c\cdot \sin(\varphi ) } \end{eqnarray*}$

Mich würde interessieren,ob auch die erweiterte Formel eine Ellipse darstellt

$\begin{eqnarray*} r=\frac{k_{2}}{1+c_{1} \cdot \cos(\varphi ) +c_{2} \cdot \sin(\varphi )} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

Meine Ideen:
Nachdem ich mit einige Kurven betrachtet habe glaube ich,dass das so ist

Ich kann aber den Zusammenhang zwischen k1 und k2 sowie c und c1 und c2 nicht richtig erkennen

01.02.2022, 00:20

Helferlein

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Da $\begin{eqnarray*} c_1 \cdot cos(\varphi)+c_2 \cdot sin(\varphi) = \sqrt{c_1^2+c_2^2} \cdot sin\left( \varphi+arctan(\frac{c_1}{c_2}) \right) = c_3 \sin (\eta) \end{eqnarray*}$ ist das korrekt.

Die Frage ist nur, wozu Du eine kompliziertere Darstellung haben möchtest.

01.02.2022, 08:51

HAL 9000

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Das ist ja die Parameterdarstellung einer Ellipse mit einem Brennpunkt im Ursprung, mit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ als Polarwinkel. Wenn es dabei nun um eine Ellipse geht mit gegenüber dem Koordinatensystem gedrehten Halbachsen, dann macht eine solche Darstellung schon Sinn.

01.02.2022, 18:03

lh2

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Danke für die Antworten

Zitat:

Original von Helferlein
Die Frage ist nur, wozu Du eine kompliziertere Darstellung haben möchtest.

Es geht um die Lösung der Differentialgleichung
Die sollte ja möglichst vollständig sein

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Ellipse (Polarkoordinaten)

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