Schnittpunkt einer Exponential- und Linear-Funktion berechnen

31.01.2022, 22:48

Luca123

Schnittpunkt einer Exponential- und Linear-Funktion berechnen

Meine Frage:
Moin, mein Name ist Luca , ich bin 16 Jahre alt und interessiere mich sehr für Mathematik. Wir haben grade den Einstieg in Exponentialfunktionen. Wir haben heute in der Klasse folgende Aufgabe bekommen: Ein 800m^2 großer Teich wird vergrößert und wächst jede Woche um 500m^2. Es wurden Algen entdeckt und die Fläche der Algen beträgt derzeit 1,5m^2. Jede Woche verdoppelt sich die Größe der von Algen bedeckten Fläche. Wir sollten dann durch ?probieren ? herausfinden, wann die Algen den ganzen Teich bedeckt haben. Mich hat aber, wie immer in der Mathematik der Ehrgeiz gepackt smile

und ich wollte die Schnittstelle beider Funktionen berechnen. (800+500x=1,5*2^x)? sollte relativ klar sein. Ich habe aber gemerkt dass das garnicht so leicht ist und bin jetzt nach vielem Suchen auf die Lambertsche W Funktion gestoßen. Sehr spannende Funktion smile

Ich kriege es aber nicht hin, die Gleichung damit zu lösen. Kann mir vielleicht jemand helfen? Ganz liebe Grüße und schonmal vielen Dank im Voraus, Luca

Meine Ideen:
Ich bin schon ganz gespannt auf euer antworten!!!

01.02.2022, 06:08

early

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RE: Schnittpunkt einer Exponential und Linear Funktion berechnen
Verwende ein Näherungsverfahren (Newton)!

Lösung: ca. 12 Wochen

01.02.2022, 09:25

Steffen Bühler

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RE: Schnittpunkt einer Exponential- und Linear-Funktion berechnen
Willkommen im Matheboard!

Wiki hilft hier weiter. Wandle also Deine Gleichung in die Form $\begin{eqnarray*} e^{-c x} = a_0 (x-r) \end{eqnarray*}$ um und bestimme $\begin{eqnarray*} x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right) \end{eqnarray*}$ . Den Wert für W(x) kannst Du mit der Tabelle interpolieren.

Viele Grüße
Steffen

01.02.2022, 09:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Den Wert für W(x) kannst Du mit der Tabelle interpolieren.

Wobei man im vorliegenden Fall von die Werte sprechen muss, d.h., Mehrzahl:

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} ze^z = a \end{eqnarray*}$ hat für $\begin{eqnarray*} a\in\left(-\frac{1}{e},0\right) \end{eqnarray*}$ genau zwei reelle Lösungen, und zwar $\begin{eqnarray*} W_0(a)=W(a) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} W_{-1}(a) \end{eqnarray*}$ entsprechend der beiden so bezeichneten Zweige der LambertW-Funktion.

Die dahinter stehende Praxisaufgabe hat natürlich nur eine positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösung, und das ist hier gerade die mit $\begin{eqnarray*} W_{-1} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

------------------------------------------------------------

Im Wiki-Artikel wird von $\begin{eqnarray*} e^{-cx} = a_0(x-r) \end{eqnarray*}$ sofort zu dieser Lösungsdarstellung übergegangen, die Links zu den Erklärungen scheinen auch ins Leere zu verlaufen. Daher hier die Erklärung, wie man dahin kommt. Und zwar durch eine geeignete Substitution - wobei es dem Verständnis vermutlich dienlicher ist, wenn man das auf zwei Substitutionen aufteilt:

Mit der ersten wird man diese "Verschiebung" $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ los, d.h. man substituiert $\begin{eqnarray*} u=x-r \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} e^{-c(u+r)} = a_0 u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-cr} = a_0 u e^{cu} \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Substitution ist nun ziemlich offensichtlich $\begin{eqnarray*} v=cu \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} e^{-cr} = \frac{a_0}{c} v e^v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v e^v = \frac{c}{a_0}e^{-cr} \end{eqnarray*}$ . Nun ist LambertW "dran":

$\begin{eqnarray*} v = W_k\left(\frac{c}{a_0}e^{-cr}\right) \end{eqnarray*}$ . Jetzt die beiden Rücksubstitutionen:

$\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{c}W_k\left(\frac{c}{a_0}e^{-cr}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = r+\frac{1}{c}W_k\left(\frac{c}{a_0}e^{-cr}\right) \end{eqnarray*}$ .

01.02.2022, 11:13

pancaker

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Zitat:

...auf die Lambertsche W Funktion gestoßen. Sehr spannende Funktion

Denk nur daran, dass du bei all deinem Interesse, was über den Schullehrplan hinaus geht, dir dann Zusammenhänge begegnen können, die du noch gar nicht kennen kannst.

Bei der von dir erwähnten Funktion, wird z.B. vorausgesetzt, dass man schon mal was von Exponentialfunktionen mit der Basis e gehört hat und ebenso mit deren Umkehrfunktion bzw. überhaupt dem Begriff Umkehrfunktion.
Da du ja selbst schreibst, dass ihr gerade am Anfang des Themas seid, musst du sowas natürlich mit einkalkulieren.

Ob es sich wirklich lohnt eine Gleichung der obigen Form unbedingt auf diese Art zu lösen, muss jeder selbst für sich entscheiden.
Ganz ohne Hilfsmittel kommt man ja auch damit nicht aus, denn die entsprechenden Funktionswerte der Lambertfunktion muss man am Ende ja irgendwo nachschauen mittels Tabelle oder CAS.
Prinzipiell könnte man das Spielchen "Ich bringe eine Gleichung auf eine bestimmte Form, so dass sie zu einer von mir definierten Funktion passt und gucke die entsprechenden Funktionswerte dann irgendwo nach" mit allen möglichen Gleichungen machen.

Wenn du den Weg trotzdem gehen möchtest, dann kannst du auch ohne die vorgefertigten Wikiformeln selbst mal versuchen die obige Gleichung salopp formuliert auf die Form $\begin{eqnarray*} \text{irgendwas} \cdot e^{\text{irgendwas}}=\text{Zahl} \end{eqnarray*}$ bringen.

Zitat:

Wir sollten dann durch ?probieren ? herausfinden, wann die Algen den ganzen Teich bedeckt haben.

Gegen systematisches Probieren, ist ja ebenso nichts einzuwenden.
Wenn du Lösungen interativ auf eine beliebige Nachkommastellenzahl genau bestimmen möchtest (1-2 Nachkommastellen reichen ja in der Regel für eine passende Einschätzung aus), dann gäbe es auch noch so genannte Näherungsverfahren.
Für das oben genannte Newtonverfahren brauchst du Ableitungen, die du vielleicht noch nicht kennst, wenn du gerade das erste Mal mit Exponentialfunktionen zu tun hast.
Das Bisektionsverfahren z.B. kommt auch ohne Ableitungen aus.
Ob es die Mühe wert ist, muss man dann wiederum selbst wissen. Augenzwinkern

01.02.2022, 15:02

HAL 9000

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Wenn man merkt, dass sich ein Fragesteller schon eingehend mit dem Problem befasst hat, und dann explizit nach dem Lösungsweg mit LambertW fragt, dann sollte man ihn auch ernst nehmen: Ich gehe davon aus, dass er sich mit den alternativen Lösungswegen "probieren" bzw. "Näherungsverfahren" durchaus schon befasst hat - da muss man ihm nicht ständig aufs Brot schmieren, dass er doch auch das in Erwägung ziehen soll. Es gibt sicher Fragesteller, die brauchen diese Art Führung - aber es gibt eben auch selbständigere, die sind da schon weiter. Und Luca123 würde ich klar zu letzteren zählen. Augenzwinkern

02.02.2022, 20:02

Luca123

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Vielen Dank! So sieht es aus. Ich muss wirklich sagen, dass ich die Community hier in dem Forum sehr Wertschätze. HAL 9000 vielen Dank für die ausführliche Antwort! Hat mir ein großes Stück weitergeholfen Freude

und ich habe durch deine/Ihre Antwort dazugelernt. Das ist es, was zählt!

02.02.2022, 22:13

mYthos

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Zitat:

Original von Luca123
... und ich habe durch deine/Ihre Antwort dazugelernt. ...

Es ist üblich, dass wir uns hier im Forum duzen, es stellt kein Problem dar.

mY+

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