Abstand Punkt Ebene

Neue Frage »

claus Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt Ebene
Hallo,

ich habe den Punkt R und die Ebene E in Normalenform, d.h.

Jetzt stelle ich eine Hilfsgerade auf, durch R mit Richtungsvektor n.



Jetzt setze ich die beiden Objekte ineinander ein um den Schnittpunkt bzw. s zu berechnen:


Nach s aufgelöst kriege ich:


Also ist der Abstand von R zur Ebene E:



In meiner Formelsammlung steht aber, dass da



rauskommen soll. Wo ist der Fehler?

Edit (mY+): LaTeX-Tags in einer Zeile gesetzt.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Punkt Ebene
Welcher Fehler?



Vermutlich kommst Du mit den unterschiedlichen Bedeutungen deines durcheinander. Mal ist es ein Skalarprodukt, mal eine Multiplikation mit einem Skalar.
claus Auf diesen Beitrag antworten »

thx, ja einfach weiter rechnen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Punkt Ebene
Zitat:
Original von claus
......
Also ist der Abstand von R zur Ebene E:


...

Nein! Denn dein Fehler liegt genau hier!
Richtig ist:


Edit: Leicht abgeänderte Rechnung, vielleicht besser verständlich:



Deswegen kann jetzt durch gekürzt werden und es ist:




=============

Das Ergebnis ist identisch mit jenem nach HESSE (der Hesse'schen Normalform) - wesentlich einfacher und schneller:
Der Abstand d ist gleich der Projektion des Differenzvektors auf den (normierten) Einheitsvektor :



Die Projektion erhält man immer mittels des skalaren Produktes. Alle Zeichen "", die sich zwischen zwei Vektoren befinden, beziehen sich auf das skalare Produnkt.
Das muss strikt getrennt von dem Multiplikationszeichen bei dem Produkt eines Skalars (einer Zahl) mit einem Vektor betrachtet werden!
Letzteres ist wieder ein Vektor, währenddessen das (Skalar-)Produkt zweier Vektoren eben immer ein Skalar (eine Zahl) ist.

Edit: Unrichtiges gestrichen.

mY+
claus Auf diesen Beitrag antworten »

Deshalb war meines ja nicht falsch, auch wenn deine Umformung vielleicht noch etwas geschickter ist als die von Helferlein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Leider hast du meinen Beitrag nicht ganz verstanden, bzw. ist dir die Problematik noch nicht ganz eingegangen! Du hast ja auch ein falsches Resultat bekommen.
Es war effektiv falsch, gehe bitte dies nochmals durch und siehe das ROT Markierte! Da gibt es einen Unterschied.


Edit: Unrichtiges gestrichen.

mY+
 
 
claus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe da echt keinen Unterschied. Helferlein und du kriegen beide das gleiche raus in dem sie den Betrag aufteilen in zwei Beträge (dort bin ich stehen geblieben).

Du ziehst das s in einen eigenen Betrag und Helferlein teilt es so auf, dass im hinteren Betrag ein Vektor mit Betrag 1 steht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt nochmals deine Rechnung durchgegangen.
Du hast Recht, die beiden Ergebnisse sind gleichwertig, verflixt aber auch Big Laugh

Es hängt nämlich nicht davon ab, wie die Absolutbeträge gesetzt sind, letztendlich stimmen sie, wenn es auch bei dir ungewöhnlich aussieht.

|s.n| und s.|n| ist nun mal das Gleiche. Edit: |s.n| = |s|.|n|

Deswegen vermeinte ich einen Fehler zu erkennen. Bitte entschuldige die Umstände.
Ich wünsche dir dennoch eine gute Nacht Augenzwinkern

mY+
claus Auf diesen Beitrag antworten »

danke, dir auch smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
|s.n| und s.|n| ist nun mal das Gleiche.


Die Rechnung ist nicht konsequent. Entweder man arbeitet mit orientierten Abständen oder mit absoluten Abständen. Die obige Gleichsetzung ist jedenfalls nicht korrekt. Auch der Skalar braucht (gewöhnliche reelle) Betragsstriche. Schließlich könnte er negativ sein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig, |s.n| = s.|n| stimmt nur für positive s.
Daher wird, wenn es auf die Orientierung nicht ankommt, mit absoluten Abständen gearbeitet: |s.n| = |s|.|n|

Die diesbezüglichen Textstellen sind korrigiert.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn es auf die Orientierung ankommt, vermeidet man eine Rechnung mit Beträgen und interpretiert direkt die skalare Multiplikation des Normalenvektors.

Ebene


Gerade


Beim Schnittpunkt von Gerade und Ebene findet man für den zugehörigen Parameter die Gleichung



Mit diesem gilt für den Ortsvektor von :



Daraus folgt:



Ist nun , so liegt der Punkt in dem durch bestimmten Halbraum, in den der gegebene Normalenvektor zeigt, im Falle ist es der andere Halbraum. Multipliziert man noch mit der Länge von bekommt man den orientierten Abstand

Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »