Maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren

02.02.2022, 18:05	NoChill	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren Meine Frage: Hallo zusammen, Seien $\begin{eqnarray} A_i \in \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray}$ n Vektoren. Ist es möglich zu zeigen, dass höchstens m davon unabhängig sind? Meine Ideen: Mein Ansatz wäre: Angenommen $\begin{eqnarray} A_1, ..., A_m \end{eqnarray}$ seien linear unabhängig. Dann lässt sich jedes beliebige $\begin{eqnarray} A_{m+1} \end{eqnarray}$ als Linearkombination von den Vektoren $\begin{eqnarray} A_1, ..., A_m \end{eqnarray}$ ausdrücken, weil ... Damit ist $\begin{eqnarray} A_(m+1) \end{eqnarray}$ nicht unabhängig. Vielen Dank im Voraus für eine Antwort
02.02.2022, 21:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren Natürlich ist es möglich zu zeigen! "High-level" wäre es einfach: Jede Basis hat die gleiche Kardinalität, das nennt man die Dimension des Raumes. Da $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ (über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -dimensional ist, besitzt jede Basis genau $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Vektoren. Da eine Basis ein (minimales) Erzeugendensystem bildet, kann also nach Auswahl von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ unabhängigen $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ jeder andere Vektor dargestellt werden, insb. die "verbleibenden" $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ -Vektoren Etwas mehr low-level direkt mit der Definition: Seien oBdA die $\begin{eqnarray} A_1, \ldots, A_k \end{eqnarray}$ die gewählten Vektoren mit $\begin{eqnarray} k > m \end{eqnarray}$ . Dann zeigen wir, dass sie linear abhängig sind. Seien also $\begin{eqnarray} \lambda_j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{j = 1}^k \lambda_j A_j= 0 \end{eqnarray}$ . Das ist ein homogenes Gleichungssystem mit $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Gleichungen und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Unbekannten $\begin{eqnarray} (\lambda_j) \end{eqnarray}$ , d.h. es gibt eine nicht-trivale Lösung des Gleichungssystems. Jetzt könnte man noch tiefer gehen und fragen wie man das einsieht. Je nachdem wie tief man geht, lohnt es sich wohl die ersten 30 Seiten eines Linearen Algebra Buch zu lesen. Da hat mans schön beschrieben
03.02.2022, 14:17	NoChill	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren Danke für die ausführliche Antwort trotz der basalen Frage! Das ist, wenn man sich den Begriff der Basis anguckt, ja wirklich klar

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