Homogene Ungleichung

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Luci34 Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene Ungleichung
Meine Frage:
Bei homogenen Ungleichungen kann man ja in den Variablen eine weitere Bedingung festlegen, z.B. a*b*c=1. Könnte ich jetzt auch Sachen annehmen wie a*b*c=a+b+c und geht das ohne Weiteres so nicht?

Meine Ideen:
Ich schätze mal ja, aber beweisen kann ichs nicht
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Homogene Ungleichung" kenne ich nicht - soll das irgendwie sowas bedeuten (hier für 3 Variablen):

Zitat:
Wenn die Ungleichung erfüllt, dann auch mit .

Aber was genau willst du jetzt beweisen? Vielleicht wird die Sache automatisch klarer, wenn du sie einfach mal in eine ordentlich formulierte Behauptung gießt.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich den Begriff in mehreren Uni-Skripts gefunden habe, habe ich diesen Beitrag in den Hochschulbereich verschoben.

Zitat:
Homogene Ungleichungen:

Sei T ein Term, der (positiv) homogen vom Grad ist, d.h. bei zentrischer Streckung der (a1, . . . , an) um den Faktor ändert sich T genau um den Faktor :


Wenn dann zu zeigen ist, kann man manchmal mit einem Faktor strecken, bis eine von uns wünschbare Zusatzbedingung erfüllt ist.

Quelle: https://www.mathematik.uni-rostock.de/st...ng-ohne-lsg.pdf
Luci34 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch Division kann man ja nun die Ungleichung in jedem Fall auf bspw. a*b*c=1 oder a+b+c=1 zurückführen. Meine Frage war nun, ob man auch a*b*c=a+b+c annehmen kann
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe davon aus, dass sämtlich positiv sind? Wenn sie beispielsweise nur als nichtnegativ vorausgesetzt wären (d.h. die Null zugelassen), gäbe es schon Probleme:

Beispielsweise lässt sich nicht mit und so skalieren, dass gilt.

Gilt jedoch , so ist das kein Problem: Wähle einfach , dann gilt ja offenbar .


Das dürfte man allgemein auch ausdehnen können auf beliebige positiv homogene Funktionen , d.h. mit .

Im vorliegenden Fall wäre das z.B. mit Homogenitätsgrad .

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Ich kenne das ja eher in der Gegenrichtung: D.h., dass man eine nichthomogene Ungleichung mit Nebenbedingung unter Nutzung dieser Nebenbedingung homogenisiert, und dadurch deren Beweis erleichtert - Beispiel:

Zitat:
Man zeige für positiv reelle Zahlen mit .

Dann ist es hinreichend, für sämtliche positiv reellen Zahlen (also OHNE Nebenbedingung) die Ungleichung



zu zeigen, was z.B. durch AMGM und dann Ringtausch gelingt.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist genau das Beispiel, welches auch Evan Chen dort auf Seite 23 bringt:

https://web.evanchen.cc/textbooks/OTIS-Excerpts.pdf

Er erschlägt es denn mit Muirhead anschließend.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Muirhead-Ungleichung habe ich noch nie gehört. Und wenn ich die so durchlese: Eh man die begriffen hat, geschweige denn auch noch die nötige doppeltstochastische Matrix hier aufstellt, hat man das Problem schon längst mit AMGM gelöst. Augenzwinkern
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