Erwartungswert und Standardabweichung

04.02.2022, 09:07	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Standardabweichung Hallo Leute, eine weitere Aufgabe, bei der ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen kann. Folgende Aufgabenstellung: In einer Spielhölle werden Laplace-Würfel und gezinkte Würfel verwendet. Bei dem gezinkten Würfel tritt die "Eins" mit der Wahrscheinlichkeit von 20% und die "Sechs" mit der Wahrscheinlichkeit von 15% auf. Die anderen Augenzahlen erscheinen jeweils mit gleich großer Wahrscheinlichkeit. Insgesamt hat der Besucher 200-mal mit einem gezinkten Würfel geworfen. Begründen Sie, dass die Anzahl der geworfenen "Einser" mit über 60% Wahrscheinlichkeit im Intervall $\begin{eqnarray} \left[\mu-\sigma;\mu+\sigma\right] \end{eqnarray}$ liegt, wobei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ der Erwartungswert der Anzahl der "Einser" ist und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ die zugehörige Standardabweichung. Meine Überlegungen: $\begin{eqnarray} \mu = 200\cdot 0,2=40 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu = \sqrt{(200-40)^2\cdot 0,2}=71,55 \end{eqnarray}$ Letzterer Wert stimmt leider nicht mit der Lösung überein.
04.02.2022, 10:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vor dem wilden Losrechnen kommen erstmal die Überlegungen: Die Anzahl $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ der Einser ist eine binomialverteilte Zufallsgröße, und zwar $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p=0.2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} n=200 \end{eqnarray}$ , das ergibt $\begin{eqnarray} \mu = E(X) = np = 40 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \sigma^2 = V(X) = np(1-p) = 32 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sigma = \sqrt{32}\approx 5.657 \end{eqnarray}$ . Damit kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ausrechnen: $\begin{eqnarray} P\left(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma\right) = P\left(34.343 \leq X \leq 45.657\right) = P\left(35 \leq X \leq 45\right) = \ldots \end{eqnarray}$ Ohne Hilfsmittel wie CAS oder GTR hätte man früher hier vielleicht noch zur Normalverteilungsapproximation dieser Binomialverteilung gegriffen... Aber zum einen ist das heute zumindest bei dieser Art Aufgaben nicht mehr nötig, zum anderen haftet einem approximierten Wahrscheinlichkeitswert eine Ungenauigkeit an.
04.02.2022, 10:50	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich habe scheinbar nicht die Gleichungen für die Binominalverteilung genutzt, sondern die für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgröße X (laut Tafelwerk). Die von dir genannten Gleichungen stehen unter Binominalverteilung und sind mir vorher gar nicht aufgefallen. Somit alles geklärt, danke!

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