Berechnung der Wahrscheinlichkeit zweier Normalverteilungen

05.02.2022, 13:49

TheWind5urfer

Berechnung der Wahrscheinlichkeit zweier Normalverteilungen

Hallo, folgende Aufgabe wurde uns gegeben:

[attach]54466[/attach]

Ich bin noch bei Aufgabenteil a. Die Dichte habe ich berechnet mit:

$\begin{eqnarray*} \int_ \! \frac{1}{4\pi\sqrt{\frac{3}{4} } }\cdot exp(-\frac{2}{3}\cdot (x^{2}+\frac{xy+x}{2} +\frac{x^{2}+2y+1}{4})) \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

Nun stellen sich mir mehrere Fragen:

1) Was sind meine Intervallgrenzen? Rechne ich

$\begin{eqnarray*} P(2X+Y>3)=1-P(2X+Y\leq 3) \end{eqnarray*}$ , dann müsste es doch $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

2) Wie zur Hölle berechne ich dieses riesige Integral?

Für Tipps bin ich sehr offen!

05.02.2022, 16:28

HAL 9000

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Ist $\begin{eqnarray*} U\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional normalverteilter Vektor, und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix vom Rang $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} V=AU+b \end{eqnarray*}$ ebenfalls normalverteilt, und zwar $\begin{eqnarray*} V\sim\mathcal{N}\left(A\mu+b,A\Sigma A^T\right) \end{eqnarray*}$ .

a) Im vorliegenden Fall für $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} X\\Y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mu = \begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -1\\-1 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , sowie mit $\begin{eqnarray*} A= \left(2,1\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} V=AU=2X+Y\sim\mathcal{N}(-1,4) \end{eqnarray*}$ .

In b) geht es dann entsprechend um eine Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und wir bestimmen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} A\Sigma A^T \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix wird.

Zitat:

Original von TheWind5urfer (Tippfehler korrigiert)
Die Dichte habe ich berechnet mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4\pi\sqrt{\frac{3}{4} } }\cdot exp(-\frac{2}{3}\cdot (x^{2}+\frac{xy+x}{2} +\frac{{\color{red}y}^{2}+2y+1}{4})) \end{eqnarray*}$

Etwas gefälliger sieht es aus in der Form

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{3}}\cdot \exp\left(-\frac{1}{6}\cdot \left(4x^2+2x(y+1) + (y+1)^2\right)\right) \end{eqnarray*}$

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