Betrag des Nenners

07.02.2022, 17:09

Kokos

Betrag des Nenners

Meine Frage:
Hallo

Gegeben ist folgende Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y^{\prime\prime}+a^{2}\cdot y= b\cdot cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jetzt,ob man die Betragsstiche dazunehmen muss

$\begin{eqnarray*} y=k_{1}\cdot\sin(a\cdot x ) +k_{2}\cdot\cos(a\cdot x )+\frac{a^{2}\cdot b }{a^2-c^2}\cdot \sin(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=k_{1}\cdot\sin(a\cdot x ) +k_{2}\cdot\cos(a\cdot x )+\frac{a^{2}\cdot b }{| a^2-c^2| }\cdot \sin(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

Gruß

Meine Ideen:
Ich glaube man braucht die Betragsstriche kann es aber nicht begründen

07.02.2022, 17:15

HAL 9000

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Weder noch: Die partikuläre Lösung dieser DGL ist $\begin{eqnarray*} y_p = \frac{b}{a^2-c^2}\cdot \cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$ , zumindest sofern $\begin{eqnarray*} |a|\neq |c| \end{eqnarray*}$ gilt.

07.02.2022, 17:46

Kokos

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Ok

Aber wenn man die Differentialgleichung erweitert

$\begin{eqnarray*} y^{\prime\prime}+\alpha \cdot y^{\prime} +a^{2}\cdot y= b\cdot cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

dann müsste die Teillösung so aussehen

$\begin{eqnarray*} y_p=\frac{b}{\sqrt{(a^{2} -c^{2} )^2+c^{2} \cdot \alpha^{2}} }\cdot cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

wenn dann Alpha Null wird hat man

$\begin{eqnarray*} y_p=\frac{b}{\sqrt{(a^{2} -c^{2} )^2} } \cdot cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p=\frac{b}{| a^{2} -c^{2} | } \cdot cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

07.02.2022, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kokos
Aber wenn man die Differentialgleichung erweitert

$\begin{eqnarray*} y^{\prime\prime}+\alpha \cdot y^{\prime} +a^{2}\cdot y= b\cdot cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

dann müsste die Teillösung so aussehen

$\begin{eqnarray*} y_p=\frac{b}{\sqrt{(a^{2} -c^{2} )^2+c^{2} \cdot \alpha^{2}} }\cdot cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$

Nein. Warum rätst du statt zu rechnen? unglücklich

Mit Ansatz $\begin{eqnarray*} y_p = u\cos(cx) + v\sin(cx) \end{eqnarray*}$ kommt hier was ganz anderes raus:

$\begin{eqnarray*} y_p = b\frac{(a^2-c^2)\cos(cx) + \alpha c\sin(cx)}{(a^2-c^2)^2 + \alpha^2 c^2} \end{eqnarray*}$

Richtig ist allenfalls, dass sich das als

$\begin{eqnarray*} y_p = \frac{b}{\sqrt{(a^2-c^2)^2 + \alpha^2 c^2}}\cos(cx + \varphi) \end{eqnarray*}$

mit einer GEEIGNET (!) gewählten Phasenverschiebung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ schreiben lässt.

07.02.2022, 18:19

Kokos

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Die Phase hatte ich vergessen

Für Alpha gegen Null

hat man dann

$\begin{eqnarray*} y_p=\frac{b}{| a^{2} -c^{2} | } \cdot cos(c\cdot x+\varphi) \end{eqnarray*}$ [/quote]

Was am Grundproblem nichts ändert. Oder?

07.02.2022, 18:24

HAL 9000

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Das stimmt so nicht ganz: $\begin{eqnarray*} \alpha\to 0 \end{eqnarray*}$ kann auch $\begin{eqnarray*} \varphi\to \pi \end{eqnarray*}$ bedeuten. So oder so bekommt man $\begin{eqnarray*} y_p = \frac{b}{a^2-c^2}\cdot \cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ .

Darstellung $\begin{eqnarray*} y_p = \frac{b}{|a^2-c^2|}\cdot \cos(c\cdot x) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} |a|<|c| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ einfach falsch, falsch und nochmals falsch - mach doch schlicht mal die Probe in diesem Fall.

07.02.2022, 18:31

Kokos

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Ok dann weiß ich bescheid. Danke

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