Zusammenhang Seitenlänge - Winkel im Dreieck |
| 07.02.2022, 21:38 | Ein-Eck | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Zusammenhang Seitenlänge - Winkel im Dreieck Hallo zusammen, ich habe versucht,folgende Behauptung zu beweisen: In jedem Dreieck ist diejenige Seite die längste, die dem größten Winkel gegenüber liegt und diejenige Seite die kürzeste, die dem kleinsten Winkel gegenüber liegt) "Mein" Beweis kommt mir ziemlich umständlich vor, aber mir ist kein einfacherer Weg eingefallen Meine Ideen: Ich bin von einem gleichseitigen (und damit auch gleichwinkligen) Dreieck ausgegangen. Hier haben alle 3 Winkel die Größe alpha (60°) und alle 3 Seiten die Länge a (siehe Zeichnung im Anhang). Dann habe ich den Winkel bei A von alpha um den Winkel delta auf alpha + delta vergrößert. Während ich die beiden Seitenlängen AB und AC unverändert lang gelassen habe (nämlich a), wurde die Seite BC um den Betrag x länger: Die Länge von BC vor Vergrößerung des Winkels bei A beträgt a Die Länge von BC´ nach Vergrößerung des Winkels bei A beträgt a + x Damit ist bewiesen, daß mit zunehmendem Winkel auch die gegenüber liegende Dreieckseite länger wird. Ich weiß, daß ich von einem Spezialfall ausgegangen bin (nämlich einem gleichseitigen Dreieck) und dieser Beweis nur dann für jedes beliebige Dreieck gültig ist, wenn er auch mit einem beliebigen Dreieck durchgeführt wurde. Deshalb versuche ich nun, von dem Spezialfall des gleichseitigen Dreiecks auf ein beliebiges Dreieck zu schließen: Dazu stelle ich mir vor, daß das beliebige Dreieck aus einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a entstanden ist. Wird nun der Winkel bei A von alpha auf alpha + delta vergrößert, so wird auch die gegenüberliegende Seite von a auf a + x vergrößert. Jetzt liegt kein gleichseitiges Dreieck mehr vor, sondern ein gleichschenkliges Dreieck mit folgenden Seiten(siehe Zeichnung): AB = a und AC´= a und BC´= a + x. Und wenn jetzt noch die Seite AC´von a auf a - y verkürzt wird (indem der Punkt C´etwas in Richtung Punkt A wandert; der Winkel bei C´ darf dabei aber nicht größer als der Winkel bei A werden) und dabei ein beliebiges Dreieck entsteht (was ja das Ziel ist), dann ist immer noch der Winkel a + delta der größte im Dreieck und die ihm gegenüber liegende Seite mit der Länge a + x die längste Seite (die beiden anderen Seiten haben dann ja die Längen a und a-y) Meine Frage ist nun: Ist "mein" Beweis richtig geführt oder ist da ein Fehler drin? Viele Grüße |
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| 08.02.2022, 07:33 | TNT | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Zusammenhang Seitenlänge - Winkel im Dreieck Eine gute Internetseite, wo auch ein Beweis zu obigem Problem zu finden ist, ist diese: https://www.yaclass.at/p/mathematik/6-sc...cc-e24fcacaeb16 Viele Grüße |
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| 08.02.2022, 13:31 | Hoexter | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis von Ein-Eck Meine Frage: Hallo in die Runde, ich habe den Beweis von Ein-Eck vom 07.02.2022 versucht nachzuvollziehen und kann keinen Fehler finden. Allerdings bin ich in Mathe nicht so bewandert. Weiß jemand von Euch, ob der Beweis korrekt geführt wurde? Ich bin auf dem "3. Bildungsweg" :-) und versuche, mir über Bücher und Foren etwas Wissen anzueignen, da meine Schulzeit schon gefühlte 100 Jahre zurückliegt. Meine Ideen: Ich kann keinen Fehler in dem Beweis von Ein-Eck finden. Ein-Eck schreibt (Zitat): "...Und wenn jetzt noch die Seite AC´von a auf a - y verkürzt wird (indem der Punkt C´etwas in Richtung Punkt A wandert; der Winkel bei C´ darf dabei aber nicht größer als der Winkel bei A werden)..." Hier habe ich beim zeichnen des Dreiecks festgestellt, daß die Bedingung (Zitat): "...der Winkel bei C´ darf dabei aber nicht größer als der Winkel bei A werden..." dann erfüllt ist, solange der Punkt C´ beim wandern in Richtung Punkt A den Kreis um B mit dem Radius a noch nicht erreicht hat. Wenn er diesen Kreis erreicht, dann ist das Dreieck ABC´gleichschenklig und deshalb die Dreiecksseiten a und a´ sowie die Winkel bei A und C´gleich groß. Wandert C´nun noch weiter in Richtung Punkt A, dann wird der Winkel bei C´größer als bei A und damit die dem Winkel bei C´ gegenüber liegende Seite a länger als die Seite a´ gegenüber Punkt A. Auch dann trifft die zu beweisende Aussage zu, daß die Seite gegenüber dem größten Winkel am längsten ist. Viele Grüße in die Mathe-Runde |
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| 08.02.2022, 13:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Warum machst du einen neuen Thread auf, statt in Zusammenhang Seitenlänge - Winkel im Dreieck zu posten? Ich hab eine Weile rumgerätselt, von welchem "Ein-Eck" du da redest. 
Ich hab's mal zusammengefügt. Steffen |
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