Taylor

08.02.2022, 20:16

ReihenFkt

Taylor

Wenn man die Taylorreihe einer Funktion bestimmen kann, konvergiert dann jede Taylorreihe gegen die Funktion für die sie bestimmt wurde?

08.02.2022, 20:34

HAL 9000

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Nein: Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) & \;\mbox{für}\;x\neq 0\\ 0 & \;\mbox{für}\;x= 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

besitzt im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ die Taylorreihe $\begin{eqnarray*} T_f(x)=0 \end{eqnarray*}$ , und zwar einfach weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dort beliiebig oft differenzierbar ist und alle Ableitungen Null sind.

08.02.2022, 20:44

ReihenFkt

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Ah! Danke, aber wieso ist das eigentlich so, wenn man eine Funktion hat, die ein Polynom ist und die Taylorreihe bestimmt, wieso ist es dann immer die Funktion selber, wenn's gegen unendlich konvergiert? verwirrt

08.02.2022, 20:53

Leopold

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Zitat:

Original von ReihenFkt
wenn's gegen unendlich konvergiert? verwirrt

Wer ist 's?

08.02.2022, 20:55

ReihenFkt

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Meine damit die Taylorreihe, wieso die Taylorreihe dann gegen die Funktion konvergiert.

08.02.2022, 21:06

Leopold

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$\begin{align*} f(x) = 5x^3 - 3x^2 + 7x - 14 \end{align*}$
$\begin{align*} f(0) = -14 \end{align*}$

$\begin{align*} f'(x) = 15x^2 - 6x + 7 \end{align*}$
$\begin{align*} f'(0) = 7 \end{align*}$

$\begin{align*} f''(x) = 30x - 6 \end{align*}$
$\begin{align*} f''(0) = -6 \end{align*}$

$\begin{align*} f'''(x) = 30 \end{align*}$
$\begin{align*} f'''(0) = 30 \end{align*}$

$\begin{align*} f^{(4)}(x) = 0 \end{align*}$
$\begin{align*} f^{(4)}(0) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} f^{(5)}(x) = 0 \end{align*}$
$\begin{align*} f^{(5)}(0) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \vdots \end{align*}$

$\begin{align*} T[f](x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!} \cdot x + \frac{f''(0)}{2!} \cdot x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} \cdot x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} \cdot x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!} \cdot x^5 + \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} = -14 + 7x - 3x^2 + 5x^3 + 0 + 0 + \ldots \end{align*}$

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