Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner ist als der andere

09.02.2022, 09:02

Kequ

Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner ist als der andere

Meine Frage:
Hallo,

ich habe schon lange nichts mehr mit Wahrscheinlichkeitsrechnung gemacht und bin da echt nicht mehr drin, weshalb ich etwas Hilfe benötige.

Ich habe 2 Datensätze, welche beide um einen gewissen Mittelwert mit einer gewissen Standartabweichung streuen.
Die Werte von Datensatz 2 sind tendenziell etwas kleiner als die von Datensatz 1, die Werte beider Datensätze streuen aber mit Überschneidungen im selben Bereich.

Ich möchte jetzt wissen, wenn ich aus beiden Datensätzen zufällig jeweils einen Wert ziehe, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert aus Datensatz 2 kleiner ist als der aus Datensatz 1. Also anders gesagt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit anhand einer einzigen Stichprobe beide Datensätze richtig unterscheiden zu können.

Danke für die Hilfe im Voraus, ich habe leider absolut keine Ahnung mehr, wie der Ansatz wäre.

Meine Ideen:

09.02.2022, 09:17

Steffen Bühler

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RE: Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner ist als der andere
Wenn die Datensätze unabhängig voneinander und normalverteilt sind, kannst Du für die Differenz dieser Datensätze die Mittelwerte subtrahieren und die Varianzen addieren. Kommst Du damit weiter?

Viele Grüße
Steffen

09.02.2022, 09:38

Kequ

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RE: Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner ist als der andere
Ich habe beiden Verteilungen angefittet und somit für beide Verteilungen ein µ und ein sigma erhalten.
Bzgl Verteilung 1 erhalte ich µ=136 und sigma=13, für Verteilung 2 µ=161 und sigma=20

Müsste ich jetzt einfach:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{2} \left(1+erf\left(\frac{(x*\mu)}{\sqrt{2*\sigma^2}} \right) \right) \end{eqnarray*}$

und hierbei für µ die summe beider µ und für sigma die differenz beider sigma nehmen. Frage ist was ich für x nehme...

Latex-Code korrigiert.
klauss

09.02.2022, 09:47

HAL 9000

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Die Gedanken von Steffen mal genau quantifiziert: Sind $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}\left(\mu_x,\sigma_x^2\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}\left(\mu_y,\sigma_y^2\right) \end{eqnarray*}$ und beide unabhängig, dann gilt $\begin{eqnarray*} aX+bY\sim \mathcal{N}\left(a\mu_x+b\mu_y,a^2\sigma_x^2+b^2\sigma_y^2\right) \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall würde man $\begin{eqnarray*} a=1,b=-1 \end{eqnarray*}$ wählen und bekommt für $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}\left(136,13^2\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}\left(161,20^2\right) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} X-Y\sim \mathcal{N}\left(-25,569\right) \end{eqnarray*}$ . Du hattest danach gefragt, mit welcher Wkt die zweite Größe kleiner ist, das wäre dann

$\begin{eqnarray*} P(X>Y) = P(X-Y > 0) = 1 - \Phi\left(\frac{0-(-25)}{\sqrt{569}}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kequ
Die Werte von Datensatz 2 sind tendenziell etwas kleiner als die von Datensatz 1

Diese Aussage trifft auf deine Parameter $\begin{eqnarray*} \mu_x=136 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_y=161 \end{eqnarray*}$ aber nicht zu. unglücklich

09.02.2022, 09:49

Steffen Bühler

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RE: Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner ist als der andere
Wie gesagt, es addieren sich die Varianzen, nicht die Standardabweichungen. Die Differenz zweier Daten aus Satz 2 und Satz 1 hat also den Mittelwert 161-136=25 und die Varianz 13²+20²=569. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Differenz also negativ?

09.02.2022, 12:40

Kequ

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Hatte es vertauscht, bei dem "kleineren" Datensatz (von dir X genannt) sind es µ=136 und sigma=13 und bei dem "größeren" (Y) sind es 161 und 20.

Wenn die Frage also P(X<Y) lautet, also P(Y-X>0), komme ich auf N(25,569) bzw. eine Wahrscheinlichkeit von 85% dass der Datenpunkt aus X kleiner ist als der aus Y

09.02.2022, 13:08

Steffen Bühler

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Das ist korrekt, denn $\begin{eqnarray*} \Phi \left( \frac {25}{\sqrt {569}} \right) \approx 0,85083 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

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