Konvergenz Treppenfunktion

10.02.2022, 14:56	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Treppenfunktion Hallo, ich habe folgende Situation gegeben: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist eine glatte Funktion mit kompaktem Träger, also $\begin{eqnarray} f \in C_0^\infty(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ . Außerdem ist eine Funktion $\begin{eqnarray} u_0: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gegeben, durch die ich auf jedem Intervall $\begin{eqnarray} C_i = [x_{i-1/2},x_{i+1/2}) \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} u_i = \frac{1}{\Delta x} \int_{C_i} u_0(x)dx \end{eqnarray}$ berechne. Zu zeigen ist, dass für $\begin{eqnarray} \Delta x \to 0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \Delta x \sum_{i=-\infty}^\infty f(x_i) u_i \to \int_{\mathbb{R}} f(x)u_0(x)dx \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz wäre so: 1) Ich verwende die Notation $\begin{eqnarray} \bar{u} \end{eqnarray}$ für die stückweise konstante Funktion $\begin{eqnarray} \bar{u}(x) = u_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in C_i \end{eqnarray}$ , ebenso $\begin{eqnarray} \bar{f}(x) = f(x_i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in C_i \end{eqnarray}$ . 2) Ich berechne: $\begin{eqnarray} \Delta x \sum_{i=-\infty}^\infty f(x_i)u_i = \Delta x \sum_{i=-\infty}^\infty f(x_i) \left( \frac{1}{\Delta x} \int_{C_i} u_0(x)dx \right) = \sum_{i=-\infty}^\infty \int_{C_i} f(x_i) u_0(x) = \int_{\mathbb{R}} \bar{f}(x) u_0(x) dx \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Meine Frage: Wie kann ich nun begründen, dass $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}} \bar{f}(x) u_0(x)dx \to \int_{\mathbb{R}} f(x) u_0(x)dx \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \quad \Delta x \to 0 \end{eqnarray}$ gilt und welche Voraussetzungen muss $\begin{eqnarray} u_0 \end{eqnarray}$ erfüllen? Über eine Hilfe dazu wäre ich dankbar. frieder

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