Normalverteilung anhand vom IQ darstellen

10.02.2022, 16:33

MatheAmGym

Normalverteilung anhand vom IQ darstellen

Meine Frage:
Guten Tag.

d) Die Verteilung des Intelligenzquotienten in der Bevölkerung ist normalverteilt mit 120583 = 100 und 120590 = 15.

Bestimme den höchsten IQ k, so dass sich unter einer sehr großen, zufälligen Auswahl von Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % nur Leute mit einem IQ von mindestens k befinden (1. Lösung mit Sigma-Regeln, 2. Lösung mit GTR Graphs, 3. Lösung mit nsolve)

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war es, einen Signifkanztest zu halten. Allerdings ist das nicht möglich.

Da von 95 % die Rede ist, hätte ich nun probiert, die 2-Sigma-Regel anzuwenden; allerdings habe ich keine definierten Zahlen.
Muss ich also das Intervall von 70 bis 130 nehmen?

10.02.2022, 17:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheAmGym
d) Die Verteilung des Intelligenzquotienten in der Bevölkerung ist normalverteilt mit 120583 = 100 und 120590 = 15.

Ob es wohl ein Zeichen von Intelligenz ist, diesen Copy+Paste-Mist nicht schleunigst richtig zu stellen? Gemeint ist vermutlich $\begin{eqnarray*} \mu = 100 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sigma=15 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MatheAmGym
Bestimme den höchsten IQ k, so dass sich unter einer sehr großen, zufälligen Auswahl von Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % nur Leute mit einem IQ von mindestens k befinden

So formuliert muss man die Anzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Leute in der Auswahl kennen, sonst kann man $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nicht ausrechnen!!! Bist du dir sicher, dass das die Original-Formulierung der Aufgabe ist?

Ich vermute, es ist (sinngemäß) was ganz anderes gemeint, nämlich

Zitat:

Bestimme den höchsten IQ k, so dass unter einer sehr großen, zufälligen Auswahl von Personen mindestens 95% der Leute einen IQ von mindestens k haben.

In diesem Fall reicht das Wissen, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sehr groß ist.

10.02.2022, 18:14

MatheAmGym

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Danke. Ich habe nicht daran gedacht, den Erwartungswert bzw. die Standardabweichung nocheinmal zu editieren.

Die Aufgabe allerdings war schon richtig; die Aufgabenstellung lautet "Bestimme den höchsten IQ k, so dass sich unter einer sehr großen, zufälligen Auswahl
von Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % nur Leute mit einem
IQ von mindestens k befinden (1. Lösung mit Sigma-Regeln, 2. Lösung mit GTR Graphs,
3. Lösung mit nsolve).".

Und genau das ist das Problem. Ich verstehe nicht, was ich gerade machen muss.

10.02.2022, 18:40

HAL 9000

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Gut, du bist also felsenfest davon überzeugt, dass du die Aufgabe nicht falsch umformuliert hast. Das werde ich jetzt akzeptieren, auch wenn meine Zweifel daran bleiben.

Wir haben unabhängig normalverteilte Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ , als IQ-Werte der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Leute der Auswahl. Dann ist

$\begin{eqnarray*} 0.95 \leq P\left(X_1\geq k,X_2\geq k,\ldots,X_n\geq k\right)\stackrel{!}{=} P\left(X_1\geq k\right)\cdot P\left(X_2\geq k\right)\cdot\ldots\cdot P\left(X_n\geq k\right) = \left(1-\Phi\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)\right)^n \end{eqnarray*}$

die zu erfüllende Bedingung. Umgestellt bedeutet dies

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{0.95} \leq 1-\Phi\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right) \leq 1-\sqrt[n]{0.95} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{k-\mu}{\sigma} \leq z_{1-\sqrt[n]{0.95}} = -z_{\sqrt[n]{0.95}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \leq \mu-\sigma\cdot z_{\sqrt[n]{0.95}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \leq 100-15\cdot z_{\sqrt[n]{0.95}} \end{eqnarray*}$

Tja, wie oben schon gesagt - das Ergebnis ist von der Auswahlgröße $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängig: Für ein konkretes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Ergebnis brauchst du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ kommt $\begin{eqnarray*} k\approx 50.7 \end{eqnarray*}$ heraus.

Für $\begin{eqnarray*} n=10000 \end{eqnarray*}$ schon nur noch $\begin{eqnarray*} k\approx 33.8 \end{eqnarray*}$ heraus.

Und für $\begin{eqnarray*} n=1000000 \end{eqnarray*}$ sinkt es bereits auf $\begin{eqnarray*} k\approx 20.2 \end{eqnarray*}$ .

10.02.2022, 18:47

MatheAmGym

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Danke.
Es ist tatsächlich die richtige Aufgabenstellung; alles aus der Datei genau herauskopiert.

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