Ausdruck 1/(1+x^2) umschreiben

10.02.2022, 21:13

jana_klar

Ausdruck 1/(1+x^2) umschreiben

Meine Frage:
Guten Abend ihr lieben smile

Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch: es geht um einen Term der Form 1/(1+x^2) und ich würde diesen gerne umschreiben in etwas wie (1+x^-2). Ich weiß, dass es da einen Trick gibt soetwas umzuschreiben, aber ich stehe total auf dem Schlauch. Oder es war bei Termen mit einer ähnlichen Struktur.

Meine Ideen:
Ich war am überlegen die "binomische Formel" (1+x^2)^-1 zu verwenden aber da bin ich mir super unsicher.

Vielen Danke für die Hilfe schon einmal!

10.02.2022, 21:26

IfindU

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RE: Ausdruck 1/(1+x^2) umschreiben
Der Klassiker ist für $\begin{eqnarray*} |x| < 1 \end{eqnarray*}$ die geometrische Formel anzuwenden $\begin{eqnarray*} \sum_{k \geq 0} q^k = \frac 1 { 1- q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q = -x^2 \end{eqnarray*}$ . Die "binomische" Formel sollte auch hier das gleiche geben. Für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ kann man vermutlich eine ähnliche Formel dann herleiten, Frage wäre warum du es überhaupt anders darstellen willst.

Ansonsten ists die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x \mapsto \arctan(x) \end{eqnarray*}$ , was ebenfalls eine alternative Darstellung wäre.

11.02.2022, 08:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ kann man vermutlich eine ähnliche Formel dann herleiten

Um das zu ergänzen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^{-2}}{1+x^{-2}} = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} x^{-2k} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von IfindU
Frage wäre warum du es überhaupt anders darstellen willst.

Das würde mich auch interessieren. Wäre nicht das erste mal, dass bei Nennung des Originalproblems solche Anliegen ganz schnell überflüssig werden...

11.02.2022, 09:01

jana_klar

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Auf die geometrische Formel hätte ich auch kommen können ... Ich komme mir jetzt so doof vor Hammer

Aber vielen Dank! Das war genau das wonach ich gesucht habe.

Zur Anwendung: ich versuche gerade eine Herleitung einer Rheologie zu folgen (und Zwischenschritte selber zu rechnen) und da muss sich noch sehr viel rauskürzen bzw kommt (1+x^-2) vor und ich habe das alles noch im Nenner stehen und demnach noch nicht gesehen wie man bei der endgültigen Gleichung ankommt.

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