Gaußscher Integralsatz/Komplexe Wegintegrale

10.02.2022, 23:15

blip

Gaußscher Integralsatz/Komplexe Wegintegrale

Moin,

ich hab folgende Übungsaufgabe:

Berechnen sie das Wegintegral

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{B3(1)}^{}\frac{z}{z^2-i}dz \end{eqnarray*}$

Hierbei gilt B(z0) ist der Rand des Kreises mit Radius r>0und Mittelpunkt z0 € C ist, der eine positive Orientierung besitzt.

Ansatz:

Ich hätte hier den gaußschen Integralsatz benutzt und die polstellen hier bestimmt um zu sehen welche stellen in dem Kreis liegen und welche nicht nur leider hat hier der Nenner keine Nullstellen. Was soll man hier tun? Ich freue mich schon auf die ganzen hilfreichen Antworten Augenzwinkern

LG,

blip

11.02.2022, 00:02

Leopold

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RE: Gaußscher Integralsatz/Komplexe Wegintegrale

Zitat:

Original von blip
nur leider hat hier der Nenner keine Nullstellen.

Der Nenner besitzt die Nullstellen $\begin{align*} z = \pm \sqrt{\operatorname{i}} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{align*}$

Und meinst du den Cauchyschen Integralsatz oder den Residuensatz?

11.02.2022, 00:05

blip

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RE: Gaußscher Integralsatz/Komplexe Wegintegrale
Hallo nochmal,

Vielen dank für die Hilfe. Ich meinte den Cauchy Integralsatz, den Residuensatz haben wir noch net gehabt. Liegt denn eine Polstelle von der Funktion dann im Kreis? Das Ergebnis ist ja komplex also würd ich nein sagen. Wie soll man dann da weiter vorgehen?

LG,

blip

11.02.2022, 00:08

Leopold

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RE: Gaußscher Integralsatz/Komplexe Wegintegrale

Zitat:

Original von blip
Liegt denn eine Polstelle von der Funktion dann im Kreis?

Eine Zeichnung sagt mehr als tausend Worte. (Wie du auf den Gedanken kommst, daß ein Kreis in der Gaußschen Zahlenebene nur rein reelle Punkte enthält, erschließt sich mir nicht.)

11.02.2022, 00:16

blip

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RE: Gaußscher Integralsatz/Komplexe Wegintegrale
Halli hallo,

natürlich, der einheitskreis kann natürlich auch komplexe Zahlen beinhalten, war eine sehr blöde Aussage Augenzwinkern

. Jedenfalls habe ich es jetzt gezeichnet und herausbekommen dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}}*(1+i) \end{eqnarray*}$

im gegebenen Kreis liegt und die negative Nullstelle nicht da der Kreis mit radius 1 nicht im negativen realteil sein kann. Wie könnte ich nun das Integral lösen? Mein Ansatz wäre nun die funktion mit (z - 1) dann zu multiplizieren um dadurch dann f(x) festzulegen und umzustellen.

11.02.2022, 00:23

Leopold

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Die beiden Zahlen $\begin{align*} \pm \sqrt{\operatorname{i}} \end{align*}$ liegen beide auf dem Einheitskreis, bezüglich des Ursprungs punktsymmetrisch zueinander. Und da der Einheitskreis im Kreis um 1 vom Radius 3 liegt, liegen die Zahlen auch im letzten Kreis.

Ansonsten Partialbruchzerlegung. Berechne einmal

$\begin{align*} \frac{1}{z - \sqrt{\operatorname{i}}} + \frac{1}{z + \sqrt{\operatorname{i}}} \end{align*}$

11.02.2022, 00:40

blip

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Hallo,

anscheinend muss ich mir nochmal das thema mit dem einheitskreis anschauen. Mit der Partialbruchzerlegung habe ich dann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(z+\sqrt[4]{-1})}+\frac{1}{2*(\sqrt[4]{-1}-z)} \end{eqnarray*}$

Dann nur noch die Integral davon bestimmen mithilfe des cauchy integralsatzes und des wars dann wa?

LG,

blip

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