Herleitung des Quersummenkriteriums am Beispiel einer Zahl

10.02.2022, 23:46	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung des Quersummenkriteriums am Beispiel einer Zahl Hallo Leute, ich habe eine Aufgabe vorliegen, bei der ich das Quersummenkriterium für die Teilbarkeit mit 9 herleiten soll. Die Zahl heißt $\begin{eqnarray} a=75348 \end{eqnarray}$ Die kommenden Zeilen sind gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{aligned}<br /> 7538 &= 8\cdot 10^0+4\cdot 10^1+3\cdot 10^2+5\cdot 10^3+7\cdot 10^4\\<br /> 7538 &= 8+4\cdot 10+3\cdot 100+\dots\\<br /> 7538 &= 8+4\cdot (9+1)+3\cdot (99+1)+\dots<br /> \end{aligned}<br /> \end{eqnarray}$ Nun habe ich gedacht ich kann das irgendwie schreiben zu: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{aligned}<br /> 7538 &= 8+4\cdot (9+1)+3\cdot (99+1)+\dots\\<br /> 7538 &= 8+4\cdot (0\,(\mathrm{mod}\, 9)+1)+3\cdot (0\,(\mathrm{mod}\, 9)+1)+\dots\\<br /> 7538 &= \text{hier noch ein paar Zwischenschritte?}\\<br /> 7538 &\equiv \sum_{k=0}^n a_k \equiv 0\,(\mathrm{mod}\, 9)<br /> \end{aligned}<br /> \end{eqnarray}$ Dabei denke ich aber, dass die Notation nicht korrekt ist. Könnt ihr mir helfen?
10.02.2022, 23:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} 75348 = 7 \cdot (9999+1) + 5 \cdot (999+1) + 3 \cdot (99+1) + 4 \cdot (9+1) + 8 \end{align}$ $\begin{align} = \underbrace{\left( 7 \cdot 9999 + 5 \cdot 999 + 3 \cdot 99 + 4 \cdot 9 \right)}_{\in \, 9 \mathbb{Z}} + 7 + 5 + 3 + 4 + 8 \end{align}$
11.02.2022, 00:00	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du gemacht hast leuchtet mir ein. Aber wie geht es weiter? Ich soll zudem jede Zeile kommentieren. Was kann ich dazu schreiben?
11.02.2022, 00:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast $\begin{align} 75348 = 9n + (7+5+3+4+8) \end{align}$ Damit ist 75348 durch 9 teilbar, falls auch noch $\begin{align} 7+5+3+4+8 \end{align}$ durch 9 teilbar ist.
11.02.2022, 00:18	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok klar soweit. Wie komme ich von dort dann auf die Notation mit der Kongruenz und dem Modulo Operator? Das wäre ja der letzte Schritt.
11.02.2022, 00:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ganze Zahlen $\begin{align} a,b,c,m \end{align}$ mit $\begin{align} m \neq 0 \end{align}$ sind $\begin{align} a = bm + c \end{align}$ und $\begin{align} a \equiv c \bmod{m} \end{align}$ äquivalent.
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11.02.2022, 00:32	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön!! Super

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