Steckbriefaufgabe

12.02.2022, 11:02

Benutzer121

Steckbriefaufgabe

Meine Frage:
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die bei x=0 eine Nullstelle, in P(1|2) ein lokales Extremum und bei x=1 einen Wendepunkt hat.

Meine Ideen:
Ich kann jetzt nur rauslesen:
1) P(0|0)
2) P(1|2)
3) f"(-1)=0
4) f(1)=2 f´(1)=0
ist das richtig? Antwort mit Lösungsweg wäre nett.

12.02.2022, 11:58

G120222

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Steckbriefaufgabe
$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

f(0)=0

f(1) = 1

f '(1)= 0

f ''(1) = 0

x= -1 steht nicht da. verwirrt

12.02.2022, 12:38

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Steckbriefaufgabe
Wie kommen sie auf diese Reihenfolge?

12.02.2022, 12:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

In deinen Angaben kann etwas nicht stimmen. Es kann $\begin{align*} 1 \end{align*}$ nicht zugleich Extrem- und Wendestelle sein. Aus deiner Nummer 3) nehme ich die Vermutung, daß die Wendestelle bei $\begin{align*} -1 \end{align*}$ liegen soll.
Deine Aufzählung enthält alles, was man zur Lösung der Aufgabe braucht. Sie ist aber in sich nicht stimmig, da sich 2) und 4) teilweise überschneiden.
Die Bedingung, daß der Graph durch den Ursprung gehen muß, kann man von vorneherein in den Ansatz einbauen:

$\begin{align*} f(x) = ax^2 + bx^2 + cx \end{align*}$

Jetzt bestimme die Parameter $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ mit den Bedingungen $\begin{align*} f(1) = 2, \ f'(1) = 0, \ f''(-1) = 0 \end{align*}$

Man kann die Aufgabe auch ganz anders angehen, indem man die zweite Ableitung ansetzt und Stück für Stück nach oben schließt.

$\begin{align*} f''(x) \end{align*}$ ist eine lineare Funktion mit der Nullstelle -1, mit einem Parameter $\begin{align*} p \end{align*}$ gilt daher:

$\begin{align*} f''(x) = p(x+1) = px + p \end{align*}$

Mit einem weiteren Parameter $\begin{align*} q \end{align*}$ folgt:

$\begin{align*} f'(x) = \frac{1}{2} p x^2 + px + q \end{align*}$

Aus $\begin{align*} f'(1) = 0 \end{align*}$ erhält man $\begin{align*} q = - \frac{3}{2} p \end{align*}$ , also

$\begin{align*} f'(x) = \frac{1}{2} p x^2 + px - \frac{3}{2} p \end{align*}$

und auch gleich

$\begin{align*} f(x) = \frac{1}{6} p x^3 + \frac{1}{2} p x^2 - \frac{3}{2} p x = \frac{1}{6} px \left( x^2 + 3x - 9 \right) \end{align*}$

Wegen $\begin{align*} f(0) = 0 \end{align*}$ braucht man dieses Mal keinen weiteren Parameter. Und über $\begin{align*} f(1) = 2 \end{align*}$ läßt sich schließlich auch $\begin{align*} p \end{align*}$ bestimmen.

12.02.2022, 13:06

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss aber den Gauß-Algorithmus anwenden. LG

12.02.2022, 13:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann tu's doch:

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt bestimme die Parameter $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ mit den Bedingungen $\begin{align*} f(1) = 2, \ f'(1) = 0, \ f''(-1) = 0 \end{align*}$

12.02.2022, 13:10

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Und das Ergebnis kenne ich: $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{3}-6x^{2}+6x \end{eqnarray*}$

12.02.2022, 13:13

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe immer noch nicht wie G120222 auf die Werte
f(0)=0
f(1) = 1
f '(1)= 0
f ''(1) = 0
kommt. Wo steht das im Text versteckt und warum ist das nach dieser Reihenfolge?

12.02.2022, 13:33

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar scheint die Lösung doch $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ als Wendestelle anzusehen. Dann kann $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ aber unmöglich Extremstelle sein! In der Tat gilt für das angegebene $\begin{align*} f \end{align*}$ auch:

$\begin{align*} f'(x) = 6 \left( x^2 - 2x + 1 \right) = 6(x-1)^2 \end{align*}$

Außer an der Stelle $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ ist stets $\begin{align*} f'(x) > 0 \end{align*}$ . Damit ist $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton wachsend. Das $\begin{align*} f \end{align*}$ der Lösung besitzt also gar keine Extremstellen. Der Wendepunkt ist ein Sattelpunkt.

Ich vermute eine Fehlinterpretation der Aufgabenstellung durch dich. Könntest du die Aufgabe einmal im originalen Wortlaut angeben?

12.02.2022, 13:40

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe im Original: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die bei x=0 eine Nullstelle, in P(1|2) ein lokales Extremum und bei x=1 einen Wendepunkt hat.

12.02.2022, 13:48

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine solche Funktion gibt es nicht.

12.02.2022, 13:56

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

warum nicht?

12.02.2022, 13:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil 1 nicht gleich 0 ist.

12.02.2022, 14:01

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich nicht

12.02.2022, 14:02

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist größer als 0, daher können 1 und 0 nicht gleich sein.

12.02.2022, 14:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies die Aufgabenstellung genau. Du sollst eine Funktion suchen, die gewisse Eigenschaften erfüllt. Manche Suchen im Leben sind aber nun mal erfolglos. Ich könnte dir auch die Aufgabe geben, ein ebenes Dreieck zu suchen, dessen Innenwinkelsumme mehr als 180° beträgt. Auch bei dieser Suche wirst du erfolglos bleiben.

12.02.2022, 14:11

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die Lösung

12.02.2022, 14:14

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie erkläre ich das meinem Lehrer? Ich verstehe es immer noch nicht

12.02.2022, 14:15

graph-zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die bei x=0 eine Nullstelle, in P(1|2) ein lokales Extremum und bei x=1 einen Wendepunkt hat.

Zitat:

Und das Ergebnis kenne ich: f(x)=2x³-6x²+6x

Würdest du sagen, dass der Graph zu deiner gelieferten Funktion zu der obigen Beschreibung passt ?

12.02.2022, 14:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Benutzer121
Wie erkläre ich das meinem Lehrer?

Dein Lehrer wird stolz auf dich sein, wenn du die Prüfung, die er dir gestellt hat, bestanden hast und nicht in die Falle getappt bist.
Und falls dein Lehrer dir gar keine Falle stellen wollte, sondern sogar selber glaubt, die angegebene Funktion sei eine Lösung des gestellten Problems, dann ist dein Lehrer dumm. (Ich falle normalerweise nicht über Lehrer her, bin ja selber einer, aber irgendwo ist auch bei gutwilligster Auslegung Schluß.)

12.02.2022, 14:22

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

welche Falle? Tut mir leid das ich so viel nachfrage möchte es halt verstehen

12.02.2022, 14:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Falle, daß du glaubst, eine Lösung gefunden zu haben, die gar keine Lösung ist. Denn das gestellte Problem ist unlösbar.

12.02.2022, 14:30

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

und warum ist es unlösbar?

12.02.2022, 14:39

graph-zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Würdest du sagen, dass der Graph zu deiner gelieferten Funktion zu der obigen Beschreibung passt ?

Dann beantworte ich das mal selbst für Menschen, die später mal mit der Aufgabe zu tun haben:

Nein, der Graph passt nicht zu den beschriebenen Eigenschaften.
Man nutzt für das LGS nur die entsprechenden notwendigen Bedingungen.
Als hinreichendende Bedingung für einen lokalen Extrempunkt in x=1 gilt jedoch $\begin{eqnarray*} f''(1) \neq 0 \end{eqnarray*}$ und wie man hier leicht nachrechnet geht diese "Probe" eben schief, da $\begin{eqnarray*} f ''(1)= 12 \cdot 1 - 12 =0 \end{eqnarray*}$ und das ist eben ein Widerspruch.

Würde in der Aufgabe stehen "Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die bei x=0 eine Nullstelle hat, in P(1|2) waagerecht verläuft und bei x=1 einen Wendepunkt hat" , dann gäbe es diesen Widerspruch nicht und es gäbe eine eindeutig zu bestimmende Funktion.

Ein Sattelpunkt ist eben kein lokaler Extrempunkt !

Entweder hat sich der Lehrer da vertan oder man sollte genau das erkennen.
Auch Möglichkeit 1 halte ich nicht für ausgeschlossen. Augenzwinkern

12.02.2022, 14:41

Benutzer121

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

12.02.2022, 14:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ graph-zahl

Das habe ich zwar alles auch schon gesagt. Aber dir glaubt er zumindest. Augenzwinkern

Übrigens: $\begin{align*} f'(x_0) = 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} f''(x_0) = 0 \end{align*}$ ist kein Ausschlußkriterium für eine Extremstelle, als Beispiel siehe $\begin{align*} f(x) = x^4 \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ .

Allerdings schließen sich Extremstelle bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ und zugleich Wendestelle bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ aus. Man hätte hier also gar nicht rechnen müssen. Es war von vorneherein klar, daß es eine solche Funktion nicht geben kann.

Man bestimme ein Viereck mit drei rechten Winkeln und $\begin{align*} a=3, b=4, c=5 \end{align*}$ . Das geht ja auch nicht. Da kann man den Zirkel anlegen, sooft man will.

Neue Frage »

Antworten »

Steckbriefaufgabe

Verwandte Themen