Galois Gruppe, gibt es Zwischenkörper dieser Art?

12.02.2022, 13:34	MathematikUeberAlles	Auf diesen Beitrag antworten »
Galois Gruppe, gibt es Zwischenkörper dieser Art? Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f \in \mathbb Q [X] \end{eqnarray}$ irreduzibel von Grad 4 und $\begin{eqnarray} Gal(f) = S_4 \end{eqnarray}$ (isomorph). Sei L ein Zerfällungskörper von f über Q. Zeige, es gibt einen Zwischenkörper Z von $\begin{eqnarray} L/ \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} [Z: \mathbb Q]?=3 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ist das nicht super einfach? Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie muss man ja lediglich eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ der Ordnung 3 bestimmen. Eine solche ist $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ . Dann folgt dass durch $\begin{eqnarray} \mathbb{L}^{A_3} \end{eqnarray}$ ein Zwischenkörper der Ordnung 3 gegeben ist. Ist das so korrekt? Oder mache ich es mir iwie zu leicht :?
12.02.2022, 14:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilkörperverband und Untergruppenverband sind antiisomorph. Du brauchst eine Untergruppe vom Index 3, nicht von der Ordnung 3.
12.02.2022, 14:45	MathematikUeberAlles	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, danke sehr! $\begin{eqnarray} <(1,2,3,4), (1,3)> \end{eqnarray}$ dies ist aber eine! Ist es jetzt korrekt?
12.02.2022, 18:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man leicht nachrechnet ist die Ordnung der Untergruppe $\begin{eqnarray} <\sigma,\tau> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sigma^4=\tau^2=\iota,\sigma\circ\tau=\tau\circ \sigma^3 \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ , also ihr Index gleich $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ . Der Fixkörper $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ hat damit wie gewünscht den Grad $\begin{eqnarray} (Z:\mathbb Q)=3 \end{eqnarray}$ .

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